大学の物理の授業で下記の問題を出題されました。
平面内で運動する質点に働く力fの直角座標成分がfx=axy fy=by^2
(a,bは定数)と書けたとする。x軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)
まで、半径rの円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のf
のする仕事を求めよ。
弦の方は求めれたのですが、円周のほうがわかりませんでした。
答えは円周経路がW=∫(fxdx+fydx)={(b-a)r^3}/3となるらいしいのですがなぜこうなるかもわかりません。
どなたか解説していただけないでしょうか。よろしくおねがいします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
W = ∫f~・dr~ = ∫(fxdx + fydy)
ですね。( ~ はベクトル)
円周にそう経路積分ですから、
x = r cosθ, y = r sinθ
dx = -r sinθdθ, dy = r cosθdθ
とおきます。
W = ∫{ a r cosθ r sinθ (-r sinθ) + b(r sinθ)^2 (r cosθ) }dθ
= (b-a)r^3∫sin^2θcosθdθ
= (b-a)r^3∫sin^2θ(sinθ)'dθ
= (b-a)r^3[1/3・sin^3θ](0~π/2)
= (b-a)r^3/3
となります。なお、積分範囲は(0~π/2)です。
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