不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
その逆数の数列が収束値の逆数に収束する証明で使われています。
なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な（式による）証明と
いただけるとうれしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2009/12/24 18:18

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。

|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|＞|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0　は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

この回答へのお礼

ありがとうございます

なるほどうまい不等式を発見されましたね

でも
頭が悪い私のような者のために
直接不等式を証明できるとなおうれしいですね

お礼日時：2009/12/25 10:32

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2009/12/25 11:55

＞なるほどうまい不等式を発見されましたね

|a-b|≧|b|-|a|
のことでしょうか？

これは発見ではなくて、幾何的証明から自然に導かれる不等式ですよ。
複素平面上で、原点、a、bで作られる三角形を考えれば、３辺の長さは、
|a|、|b|、|a-b|
三角形の性質（２辺の和は他の１辺より長い）より、
|a|+|a-b|≧|b|

幾何的証明を代数的に表現しただけです。

この回答へのお礼

でも私にはそういう発想は絶対湧きません（今のところ）
羨ましいですね。

お礼日時：2009/12/25 15:15

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/12/24 17:14

　複素平面上で　ｂ　を固定して考えます。

　そのとき、|a-b|<(1/2)|b| をみたす　ａ　の範囲は

　　＜　ｂを中心とした半径 |b|/2 の円の内部（円周は含まない）　＞

となります。

　この円の内部のすべての点について、|a|　は　|b|/2　より大きいことは分かると思います。

　あとは、このことを幾何的に、そして代数的に表現すれば証明が終わります。

この回答へのお礼

ありがとうございます

なるほど，図を書くと明らかですね

でもなぜ図示すると明らかなのに
式からは直観出来ないのでしょうね？
少なくとも私はそうです

不思議ですね

お礼日時：2009/12/25 10:27