どうしても納得できない数学の疑問

正四面体の頂点から底面に垂線を下ろすと重心になることを証明せよ。
という問題があるとします。
正四面体ABCDにおいて，Aから△BCDへの垂線の足をHとします．
このとき，AB=AC=AD，∠AHB=∠AHC=∠AHDですので△ABH≡△ACH≡△ADHです．
ですからBH=CH=DHですのでHは△BCDの外心です．
正三角形では外心と重心は一致する(*)のでHは△BCDの重心ですね．
という回答を頂きました。
上から見た図は下の図です。確かに、BH=CH=DHです。
なんとなくは外心の半径だなとわかりますが、どうしてもなんとなくは嫌です。
外心の半径になる条件みたいなのはないんでしょうか？？
どうしても悩んでいます。　
数学に精通している方、助けてください。
お願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/01/11 10:48

>ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨなる点Ｈが△ＡＢＣの外心である、というところです。

あなたの書いた外心の定義そのものではないですか？
H から見て、A, B, C は等距離にあるのだから、そこがまさに外心でしょ？

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2010/01/10 23:18

ちょっと訂正

≫重心が重心であるかの証明は重積分というものを習わないと証明できない。
　三角形については、幾何で証明できます。

No.4 回答者： lialhyd 回答日時： 2010/01/10 22:00

ミスでしたか。

△ＡＢＣの外接円とは、３頂点Ａ、Ｂ、Ｃのすべてを通る円である。
よって、Ａ、Ｂ、Ｃはすべて円周上の点である。
ここまでは理解されていますか？
あなたが一番「理屈として理解できない」と思っている点はどこでしょうか。

ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨになる、というところでしょうか？

それとも、ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨなる点Ｈが△ＡＢＣの外心である、というところでしょうか？

この回答への補足

、ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨなる点Ｈが△ＡＢＣの外心である、というところです。
三角形に限らず）各頂点から等距離にある点が1つに重なる場合、外接円が描け、それが半径となるということですか？？

補足日時：2010/01/11 09:13

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2010/01/10 21:42

　正四面体の頂点から垂線をおろして、それが底面と交差する点と底面の三角形の重心が一致することを証明

　ですよね。--問題文が少し不正確かな？

　正四面体を真上から見た図を元に証明していくので良いでしょうが、それには「正四面体とはなにか？」と、正四面体の性質をきちんと理解しておく必要がありますね。
　わざわざ外心を持ち出さなくても良いが・・外心の定義と一致する過程を経由するので、そこを抑えておこう。

　三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ３つの線分は 1 点で交わりそれを重心という・・・と、重心が重心であるかの証明は重積分というものを習わないと証明できない。

No.2 回答者： lialhyd 回答日時： 2010/01/10 21:06

外心って、なんのことだか理解できていますか？

どうも、そのあたりがかなりあやしいと思うのですが。

外心の半径　なんて言われると・・・そう思ってしまいます。

この回答への補足

すいません。ミスです。
外心とは外接円の中心のことです。

補足日時：2010/01/10 21:49

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/01/10 21:04

>なんとなくは外心の半径だなとわかりますが、どうしてもなんとなくは嫌です。

外心とは何かを補足にどうぞ。

この回答への補足

外心とは外接円の中心

補足日時：2010/01/10 21:50