yの２乗をxで微分すると？

yの２乗をxで微分すると2y×dy/dxになるのはなぜなんでしょうか？

高校数学レベルで教えてください。よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/11 03:55

　高校数学レベルでしたら　＜合成関数の微分＞　を使えば、そうなるのですが、それは使わないと言うことでしょうか。

　でしたら、微分の定義式から導くことになります。

　d{y(x)}^2/dx
＝lim[h→0] [{y(x+h)}^2-{y(x)}^2]/h
＝lim[h→0] [y(x+h)-y(x)]/h {y(x+h)+y(x)}
＝dy(x)/dx 2y(x)

　公式などに頼らない場合は、基本（定義式）に戻って考えてください。

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/01/11 03:53

ANo.1ですが、書き忘れがありました。

「aのb乗」をa^bと表しました。

つまりy^2は「yの2乗」で、
x^2は「xの2乗」を意味します。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/01/11 03:51

合成関数の微分で考えてみてください。

f(g(x))をxで微分するとf'(g(x))g'(x)になるというのはやりましたよね。
今回の場合、f(x) = x^2, g(x) = yと考えてみましょう。
y^2はf(g(x))という合成関数と考えることができますよね。
するとf'(x) = 2xなのでf'(g(x)) = 2y。
g'(x) = y'（つまりdy/dx）なので

{ f(g(x)) }'
= f'(g(x))g'(x)
= 2y・(dy/dx)

となります。