公務員試験の約数倍数の問題(すごく簡単な問題らしい)で、答えを見てもわからないものがあるのですが・・・
問 94で割ると31余り、95で割ると23余る最小の正の整数はどれか。
答 94で割り切れる整数と、95で割り切れる整数とでは1ずつの差が生じるので、余りの差から、
(31-23)÷(95-94)=8
94×8+31=783
となる。
と、あるのですが、解説とその後の式が理解出来ません・・何をしているのでしょうか。
よくわからないけど、式に適当な数字をあてはめてみましたが、変なことになりました。(答えの整数:21 10で割ると1余り、11で割ると10余る→(10-1)÷(11-10)=9 10×9+1=91?)
約数倍数は苦手で、根本的なことが理解できていないと思われます。
バカな僕でもわかるように教えてください。お願いします。
No.9
- 回答日時:
「94で割ると31余り」を満たすはじめの数(最小の数)は、94+31=125です。
このとき、95で割ると余りは30になります。
95が94よりも1だけ大きいからです。
次に、94を加えた125+94=219も94で割ると31余りとなります。
先ほどと同じように、この数を95で割ると、また1だけ余りが小さくなります。(余りは29)
このように、どんどんと95で割った余りが小さくなっていきます。
そして、その余りが23になるところを見つければよいことになります。
94を1回加えるたびに、95で割った余りは1小さくなるので、
31-23=8回加えたときに、余りはちょうど23となります。
このことを式にすると
94×8+31=783
となります。
文字式を使えば一般的な解き方ができますが、少し時間がかかってしまうかもしれません。
「割る数の差」=「余りの差」となるところがポイントですね。
No.7
- 回答日時:
求める数から23を引いた数は、95で割ると割り切れ、94で割ると8余ります。
この8を求める計算が31-23です。94で割り切れる正の整数は、94、94*2、94*3……。
95で割り切れる正の整数は、95、95*2、95*3……。
その差は95-94=1、95*2-94*2=(95-94)*2=2、……と1ずつ増えていきます。
これは、見方を変えると、95で割り切れる正の整数である95、95*2、95*3……を94で割ると、余りが1、2、3……と1ずつ増えていくことを意味しています(※)。
94で割ると8余る95の倍数は95*8だとわかります。
この95*8に23を足せば、95で割ると23余り、94で割ると31余る整数が出来ます。
ということをやっていると思うのですが、最後の94×8+31=783がどうもよくわかりません。結果的には同じことですが、やっていることの意味を考えると95*8+23の方から求めることになるのではないかと思うのですが。その解答のような意味づけになる解き方は思いつきませんでした。表に書いて8列目を求めたということなのかも知れません。
ただ、数学的にはこの解き方では不十分だと思われます。
求める整数を95あるいは94で割ったときの商が同じであることを前提にしていますが(※のところ)、そうとは限らないからです。
この解き方では、「94で割ると31余り、95で割ると23余り、かつ商が同じ整数」が見つかるだけで、それが最小かどうかは別に確認する必要があります。
他には、
94で割ると31余る正の整数を小さい方から書いていくと、31、94+31、94*2+31、94*3+31……。
これを95で割ったときの余りは、31、30、29……と1ずつ減っていきます。23になるのは94*8+31とわかります。
No.5
- 回答日時:
勝手に付け加える条件は、
上手く n さえ求まれば 、何でもよいのですが、
p = 0 などとしたのでは、
対応する整数解がありません。
この問題の場合、
95 - 94 = 1, 11 - 10 = 1 であることから、
p = q がたまたま上手くゆくのでした。
No.3
- 回答日時:
問題の条件は、♯1 のように書けます。
よって、
n = 94p+31 = 95q+23 の整数解を求めればよい。
このような n の内、
正で最小のものを要求されています。
~で割ると~になる…という問題は、
「一次不定方程式」といって、よく知られており、
その解は、
(全ての n)=(n の一例)+(割る数の最小公倍数)×(任意の整数)
という形になります。
だから、最初は n が正で最小になるかは気にせず、
♯2 のように、勝手に
p = q (= m) などの条件を追加して、ともかく
式を満たす n の一例を探せばよいのです。
正で最小の n は、最小公倍数を使って
後から求めればよい。
解説では、たまたま最初から
正で最小のものが見つかったため、
最後のステップが省略されており、
解法の流れが分かりにくくなっています。
丁寧な回答ありがとうございました。ただ、(全ての n)=(n の一例)+(割る数の最小公倍数)×(任意の整数)が私の頭では処理しきれず、よく分かりませんでした。すみません。
No.2
- 回答日時:
求める最小の整数をN, mは整数とおくと
N=94m+31 …(A)
とおけることはわかりますか?
また、割る数を1増やし95で割るとあまりが減少して
N=95m+23 …(B)
とおけることはわかりますか?
(A)-(B)より
0=(94-95)m+(31-23)
mの項を左辺に移項して
(95-94)m=(31-23)
m=(31-23)÷(95-94)=8 ←これが最初の式ですね。
このとき(A)から
N=94x8+31=783 ←これが2番目の式ですね。
また
N=95x8+23=783 ともなっていて(B)式も満たしている。
理解できましたか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- その他(教育・科学・学問) 小学生の算数の商について 3 2023/03/06 14:11
- 数学 どうか教えてください。 4 2022/07/02 20:18
- 大学受験 合同式 1 2022/09/03 12:37
- 数学 【 数I 集合の要素の個数 】 問題 1から100までの整数のうち,6と8の少 なくとも一方で割り切 2 2022/07/18 12:51
- 宅地建物取引主任者(宅建) 宅建業法で満点に近い高得点を取る勉強方法は? 4 2022/09/09 10:17
- 中学校受験 42を割っても、54を割っても割り切れる整数のうちもっとも大きい整数はいくつですか。 またそのような 5 2022/09/22 15:29
- 高校 mod 問題 2 2022/08/11 10:19
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 整数問題についてですが、 「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答え 12 2023/08/28 15:03
- 大学受験 助けてください。 大学入試まであと38日なのですが英語が2割です…。 第1志望は5割位なのですが、2 8 2023/01/03 19:37
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
高校数学1の問題集に、2次関数...
-
数学の問題が解けなくて悩んで...
-
全員と同じグループを経験でき...
-
最大元と最小元をもつことの証...
-
至急!!二次関数について aは...
-
infの中にsupがあるとき
-
関数の近似に関する問題
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
2つの放物線間の最短距離
-
1/x+1/y≦1/2 , 2<x,2<yのとき、...
-
なぜ自然数を平方した数の約数...
-
n!が10の40乗で割り切れるとき...
-
公務員試験の約数倍数の問題(...
-
3次元での点群に対する最小二...
-
2進数のバイアス表現について
-
以下の問題の解答・解説を教え...
-
置換の問題をお教え下さい。
-
EXCEL ドラッグしたセル...
-
最小値のルートについて。
-
非負最小2乗法のコーディング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
おしどり遊び(テイトの飛び石...
-
exselで最小数で並び替える関数
-
2進数のバイアス表現について
-
全員と同じグループを経験でき...
-
至急!!二次関数について aは...
-
x.>0ときγ(x)が最小値となるxの...
-
次の問題を解いてください。 実...
-
数学の問題が解けなくて悩んで...
-
2次関数の応用
-
3次元での点群に対する最小二...
-
3で割ると2余り、7で割ると4余...
-
y=x^xの最小値
-
間違いの理由を教えてください...
-
a, bがa>0, b>0,1/a+2/b=3を満...
-
最大元と最小元をもつことの証...
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
数学Aの確率
-
座標平面上において、放物線y=x...
-
数学の平面ベクトルの問題なの...
-
最大元と最大値 最小元と最小値...
おすすめ情報