微分について

２x^2ー2xy＋y^2＝５上の点（１，３）における接線の式を求めたいのですが、２x^2ー2xy＋y^2＝５はどのように微分するのでしょうか？

No.1 回答者： -ok 回答日時： 2010/02/13 11:06

>２x^2ー2xy＋y^2＝５はどのように微分するのでしょうか？

両辺を x で微分して、dy/dx を求めます。
例えば
d(xy)/dx
= (dx/dx)y + x(dy/dx)
= y + x(dy/dx)
です。

No.2 回答者： 4028 回答日時： 2010/02/13 11:38

２ｘ^2　は

４ｘ

ー２ｘｙ　は
－２ｙ＋ｘ*dy/dx

ｙ^2　は
２ｙ*dy/dx

*はかけるです。

これを整理して
dy/dx＝　にして
(１，３)を代入すると傾きがでます。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2010/02/13 11:50

正攻法としては２x^2ー2xy＋y^2＝５をy=f(x)の形にしてからdy/dxを求めるべきだという感じがしますが、ｙは明らかに√の中にｘの入る面倒な関数になります。

それを微分...絶句したくなります。

　そんな苦労はいらないよというのが２x^2ー2xy＋y^2＝５をそのまま微分する方法です。ｙはあくまでｘの関数です。たとえばｘｙは関数の積とみて微分するとd(xy)/dx=y+xy', またy^2はd(y^2)/dx=2yy',この調子でやると
4x-2(y+xy')+2yy'=0
これをy'について解けばよいということです。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/13 11:54

単純にxで微分すれば良い。

積の微分：(xy)'=y+xy',
y^2の微分：(y^2)'=2yy'
なので

与式の両辺をxで微分して
2x^2-2xy+y^2=5

4x-2y-2xy'+2yy'=0

2で割って移項して

2x-y=(x-y)y'
y'=(2x-y)/(x-y)

従って
y'(1,3)=(2-3)/(1-3)=1/2

接線は
y=(1/2)(x-1)+3