次の等式がxについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21
解説
係数比較法でもできるが、等式の形から、数値代入法を利用する。
3つのxの値の代入でa,b,cは求められる(必要条件)が、この3つのxの値以外でも成り立つかどうかは不明。よって、恒等式であることを確認する(十分条件)。
・・・・・・(ここからは省略)
教えてほしい点
次の等式が恒等式であるときと問題に書かれています。
よって、この関係式はどんなxの値を代入しても成立するということです。
なのに、なぜこの3つのxの値以外でも成り立つかどうかは不明なんですか??
教えて下さい。
A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
必要十分の関係でないからです。
xについての恒等式であるということと,特定のxで成り立つことは同値ではありません。
xについての恒等式ならば特定のxで成り立つということは常に成り立ちます。
特定のxで成り立つならばxについての恒等式である(全てのxで等式成立)ということは常に正しいことではありません。
必要十分の関係なら逆が常に正しいので確認は不要ですが,必要十分の関係でないなら,逆が成り立つことを示す(逆が成り立たない可能性もあるため,それを否定する)必要があります。
この回答への補足
>必要十分の関係でないからです。
xについての恒等式であるということと,特定のxで成り立つことは同値ではありません。
xについての恒等式ならば特定のxで成り立つということは常に成り立ちます。
特定のxで成り立つならばxについての恒等式である(全てのxで等式成立)ということは常に正しいことではありません。
確かに、特定のxで成り立つならばxについて恒等式であるということはないですね。
ですが、a,b,cは定数なのだから方程式3つできればa,b,cは求まる。
もともと、恒等式といっていたのだから確認不要でしょう。
他のxで成り立つかわからないだろうというのはおかしいと思います。
a,b,cは一定なので結局、恒等式より3つの方程式は成り立つからです。
No.3
- 回答日時:
あなたが求めた、a,b,cの値を、大文字のA,B,Cで表すとします。
問題で恒等式であるとされているのは、a,b,cという文字で表された不明の数値で表された(いささか不確定な)等式
ax(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21
に限られた話であって、あなたが求めた、A,B,Cという数値で表された等式
Ax(x+1)Bx(x-3)-C(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21
が恒等式かどうか、まだ定かではありませんので、それを証明しなくてはなりません。あなたが求めたA,B,Cで表された等式が、3つの値以外でも成り立つかどうか確かめた時、初めて、あなたの求めた等式が恒等式であることが証明され、a=A,b=B,c=Cが問題を満たし、解となります。お堅い話ですが…。
No.4
- 回答日時:
恒等式だと書いてあるから、どんな x についても成り立つことが既に保証されている …のではなく、
恒等式だと書いてあるから、どんな x についても成り立つことを示してやらねばならない …のです。
だって、もしかしたら、これはイジワル問題で、「解無し」が正解かもしれないんですから。
x に3個の値を代入して定めた a,b,c について、x に4個めの値を代入しても与式が成立することを
保証する責任は、出題者ではなく、解答者(貴方)にあるのです。数学って、そういうものです。
以下の例題と比較して、よく考えてみて下さい。
例題:
次の等式がxについての恒等式であるとき、定数 b,c の値を求めよ。
x(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1) = 6x^2+7x+21.
この問題の場合、解 a,b,c は確かに存在しますが、
「この3つのxの値以外でも成り立つかどうかは不明。」という文章は、
それ以外の x では成り立たない …といっているのではなく、
成り立つとしても、答案のここまでの段階では、まだそれが証明されていない …という意味です。
証明しておけば済むんですから、答案の末尾に、
「この a,b,c を代入して、展開整理すると、両辺は確かに一致している。」と書いておけばよいのです。
出題者を信用するのなら、本当に展開してみなくても、そう書いておくだけです。
この回答への補足
しかし、解答には(次数+1)個の値なら確認は不要らしいです。
恒等式だと書いてあるから、どんな x についても成り立つことを示してやらねばならない
確かに、そうですね。
でも、なぜ次数+1)個の値なら確認は不要なんですか??
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 方程式の証明 5 2022/05/12 09:29
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
- 数学 【 数I 】 問題 aを定数とする。1≦x≦3において,xの 不等式ax+2a-1≦0・・・・・・① 2 2022/07/15 17:40
- 数学 難題集から 最大と最小 7 2023/02/22 19:36
- 数学 数学の問題の解き方を教えてください! 3 2022/11/02 17:32
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 全ての実数xについて、不等式x²+(k+2)x+(k+2)>0が成り立つような定数kの値の範囲を求め 5 2023/01/21 14:27
- 数学 高校数学について 関数y=-x^2+2x+c (xは0以上3以下)の最小値が-5であるときの定数cの 1 2022/10/01 09:52
- 数学 【 数I 連立不等式 】 問題 aを定数とし、連立不等式 x-6a≧-1・・・① { ∣x+a-1∣ 3 2022/07/11 18:27
- 数学 「x≧−6 であるすべてのxに対し,不等式2ax≦6x+1が成り立つような定数aの範囲を求めよ。」 4 2022/07/22 05:33
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
逆元の計算方法
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
y=2x-1/x+1の逆関数を求めるも...
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
数列について
-
連立方程式
-
代入法なのに、逆の確認をしな...
-
(高3)4元2次方程式がとけません。
-
極限値が存在するための定数a,b...
-
一次不定方程式の整数解のうち...
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
√(1+x)のテイラー展開のn...
-
β-α=√Dになる途中の計算の意味...
-
5x+7y=1の整数解を全て求めよ ...
-
証明です
-
arctanxをf(x)とし、そのn回微...
-
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り
-
方程式2x+3y=33 を満たす自然数...
おすすめ情報