青チャート 基本例題１５

a+b+c=0のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
１a^3+b^3+c^3=-3(a+b)(b+c)(c+a)


教えてほしいところ
・この問題は要するにある条件下で、この等式が成り立つことを証明せよ。
ということですね。
条件式を利用して解説（省略）では、代入して文字を減らしていました。
なぜ、代入しただけで、ある条件を考慮したことになるんでしょうか？？

教えて下さい

No.1 回答者： post_iso 回答日時： 2010/03/07 13:38

条件式を与式に代入すれば条件を考慮したことになります

簡単な例でいえば
x=2のとき
1+x=3
を証明せよという問題

与式(1+x=3)にx=2を代入すれば
等式が成り立ち、仮定は証明されます。

No.2 回答者： japaneseda 回答日時： 2010/03/07 16:26

趣旨が違っていたらシカトしてください。

数Iの公式で、
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
だったっけな？（確か・・）

これを変形～～～～＝＝＝！

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+３abc
を利用するとうまくいくかも（０，２５％ぐらいでｗｗ）
しれません！！（笑）

以上が数学音痴（自分）の最大限の努力です。

No.3 回答者： noname#29493 回答日時： 2010/03/07 20:40

a+b+c=0ならばc=-(a＋b)なので

c=-(a＋b)のとき
　a^3+b^3+c^3=-3(a+b)(b+c)(c+a)
を示せということ。
代入しただけである条件を考慮したのでなく、もともとの条件が成り立つならばある条件も考慮できて代入できるということ。
だからこの場合
c=-(a＋b)だから
a^3+b^3-(a＋b)^3＝-3(a+b)(b+c)(c+a)＝-3ab(a＋b)
すなわち
　　　　　a^3+b^3-(a＋b)^3＝-3ab(a＋b)
がいえれば証明できたことになる。
a^3＋b^3＝(a＋b)^3-3ab(a＋b)より
a^3+b^3-(a＋b)^3＝{(a＋b)^3-3ab(a＋b)}-(a＋b)^3
　　　　　　　　＝-3ab(a＋b)
よってもとの証明が示された。
こういうもんよ数学の基本的な証明は。