数学の問題が解けません！

数学の問題が解けません！
難しくは無い問題ですがどうしても解き方が思いつきません。
解き方をおしえてもらえればありがたいです。



問題１
(1/3)^n×cos(nπ/3)の無限級数を求めよ。


問題２
三角形ＡＢＣの外心をＯとしてOHベクトル=OAベクトル+OBベクトル+OCベクトルを満たす点Ｈをとる。ただし、三角形ＡＢＣは直角三角形ではない。
辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点をＤ，Ｅ，Ｆ、線分ＡＨ、ＢＨ、ＣＨの中点をＡ１、Ｂ１、Ｃ１とする。Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ａ１、Ｂ１，Ｃ１はＯＨの中点Ｍを中心とするある円Ｋ上にある。
またＡＨとＢＣ、ＢＨとＣＡ、ＣＨとＡＢの交点を順にＰ，Ｑ，ＲとするとＰ，Ｑ，Ｒは円Ｋ上にあることを示せ。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/19 22:47

問題１

n を 3 で割った余りか、6 で割った余りで分類して、
等比級数に帰着させればよいのですが…

そうやって計算しても構わないことの証明は、
高校の範囲を越えます。

興味があれば、「絶対収束」について
図書館などで調べてみるとよいでしょう。

問題２
読んだだけで面倒くさくて、やってみる気になれませんが、
こういうイカニモ面倒くさい問題は、かえって、
問題の設定を地道に式で表してみると、
それだけで解けてしまったりするものです。

↑ＯＨ, ↑ＯＤ, ↑ＯＥ, ↑ＯＦ, ↑ＯＡ1, ↑ＯＢ1, ↑ＯＣ1
↑ＯＰ, ↑ＯＱ, ↑ＯＲ の各ベクトルを
一旦 ↑ＯＡ, ↑ＯＢ, ↑ＯＣ を使った式で表したあと、

↑ＯＭ = (1/2)↑ＯＨ を利用して、

↑ＭＤ, ↑ＭＥ, ↑ＭＦ, ↑ＭＡ1, ↑ＭＢ1, ↑ＭＣ1
↑ＭＰ, ↑ＭＱ, ↑ＭＲ の各ベクトルを
↑ＭＡ, ↑ＭＢ, ↑ＭＣ を使った式で表してみましょう。

たぶん、それだけで自動的に解けます。

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/04/18 21:15

宿題かな？丸投げはダメよ～～。

自分で考えてここがこう分かりません。って言うような出し方をしてね♪

なのでヒントね。

問題１は、ｎに１から　２・３・４・５・６・・・・　と代入してみよう！

こういうのの常套手段です。ｃｏｓ　の部分は、±１／２か　±√３／２　で

くるくる回ると思うよ。それが分かると、なんとなく等比級数に

なっていそうな気がするはずです。

問題の２は、ともかく図をきれいに書いてみることかな？

外心が　Ｏ　なので、　ベクトルＯＨ　は　外心の直径上のどこかになるはずだよね。
　＃延長線上かもしれないかな？

何故直角三角形ではダメなのか？もついでに分かるはずだよ。

がんばれ～。