ｙがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2)

ｙがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2)
を満たすとする。

z=exp(x^2)・yとするとき、zが満たす微分方程式を求めよ。
また、zに関する微分方程式を解き、解をｙで求めよ。


という問題があります。
専門書にも似たような問題が一切なく、とても苦労しています。
よろしければ、この問題を解く方針をご教授お願いできないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2010/05/08 15:21

計算してみたので，書いておきます．

z＝exp(x^2)・y
の両辺を x で微分する．
dz/dx＝d(exp(x^2))/dx・y＋exp(x^2)・dy/dx
dz/dx＝2x・exp(x^2)・y＋exp(x^2)・dy/dx

与えられた式，dy/dx＋2xy＝4x・exp(x^2)　から　dy/dx　は
dy/dx＝4x・exp(x^2)－2xy　となる．これを上の式に入れる．

dz/dx＝2x・exp(x^2)・y＋exp(x^2)・(4x・exp(x^2)－2xy)
dz/dx＝2x・exp(x^2)・y＋4x・exp(2x^2)－2xy・exp(x^2)

dz/dx＝4x・exp(2x^2)

これが，z　に関する微分方程式です．これを解くと
z＝∫4x・exp(2x^2)dx＋C,　　　　　C は積分定数．
∫4x・exp(2x^2)dx＝exp(2x^2)　であるから，z　は，
z＝exp(2x^2)＋C
と求まる．これを　z＝exp(x^2)・y　に入れれば，
exp(2x^2)＋C＝exp(x^2)・y
故に，y は，

y＝exp(x^2)＋C・exp(－x^2)
となる．

(検算)：y＝exp(x^2)＋C・exp(－x^2)　を　x　で微分すると
dy/dx＝2x・exp(x^2)－2xC・exp(－x^2)
dy/dx＋2xy＝2x・exp(x^2)－2xC・exp(－x^2)＋2x[exp(x^2)＋C・exp(－x^2)]
dy/dx＋2xy＝2x・exp(x^2)－2xC・exp(－x^2)＋2x・exp(x^2)＋2xC・exp(－x^2)
dy/dx＋2xy＝2x・exp(x^2)＋2x・exp(x^2)
dy/dx＋2xy＝4x・exp(x^2)
で，もとの微分方程式になるので，y＝exp(x^2)＋C・exp(－x^2)は正しい．

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わざわざ、ここまでしていただいて感謝の気持ちでいっぱいいです。
本当に助かりました

お礼日時：2010/05/08 16:02

No.1 回答者： carvelo 回答日時： 2010/05/08 10:55

z=exp(x^2)・yからy=exp(-x^2)・zとして，与えられた微分方程式に代入するだけでは…？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
少し考えすぎました

お礼日時：2010/05/08 11:16