フーリエ変換について

こんなこと聞くのは失礼なんですが、
f(t)=exp(-at^2)　(a>0)がフーリエ変換できません。
どのように置くと求めることができるのかおしえてください。答えはわかっているのですがとき方がわかりませんどうかアドバイスをお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/05 10:30

exp(-az^2)は正則だからコーシの積分定理により

∫(z:左回り)exp(-az^2)dz=0
であるから
∫(t:-∞→∞)exp(-a(z-jc)^2)dx
はcがどんな実数であっても同じであり√(π/a)。
後は簡単。
x(t)=exp(-at^2)のフーリエ変換をＸ（ｆ）とすると
X(f)=
∫(-∞～∞)x(t)exp(-j2πft)dt=
∫(-∞～∞)exp(-at^2)exp(-j2πft)dt=
∫(-∞～∞)exp(-a(t-jπf/a)^2)exp(-(πf)^2/a)dt=
exp(-(πf)^2/a)∫(-∞～∞)exp(-a(t-jπf/a)^2)dt=
exp(-(πf)^2/a)∫(-∞～∞)exp(-at^2)dt=
√(π/a)exp(-(πf)^2/a)

書き間違いは多いので考え方だけ信じるように。

この回答へのお礼

こんな変換思い世寄りませんでした。√πがでたのでてっきりガンマ関数を使うのかと思っていました。
またわからないことがあれば質問しますのでそのときはよろしくお願いします。

お礼日時：2003/07/05 18:55

No.2 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/05 10:42

∫(t:-∞→∞)exp(-a(z-jc)^2)dx

→
∫(t:-∞→∞)exp(-a(t-jc)^2)dt

まだあると思うけれどもきりがないのでもう直さない。

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2003/07/05 11:27

> こんなこと聞くのは失礼なんですが

ここはそういうサイトですから，そんな心配は要らないでしょう．
回答に対してレスポンスがないのはいけませんがね．

要するに
(1)　　I = ∫{from -∞ to ∞} exp(-x^2) cos(2ax) dt
ができればＯＫですね．
後の計算の都合で(単に見やすいだけですが)上のようにしています．

(1)を a で微分して
(2)　　dI/da
　　　 = -2 ∫{from -∞ to ∞} exp(-x^2) t sin(2ax) dx
　　　 = [exp(-x^2) sin(2ax)](-∞～∞)
　　　　　- 2a ∫{from -∞ to ∞} exp(-x^2) cos(2ax) dx
　　　 = -2aI
です(途中で部分積分)．
つまり
(3)　　dI/I = -2a da
ですから，
(4)　　log I = a^2 + A　　⇒　　I = C　exp(-a^2)
C = exp(A) は積分定数．
C は a=0 としてみるとわかります．
(1)で a=0 とすると，有名な Gauss 積分ですから，
(5)　　C = ∫{from -∞ to ∞} exp(-x^2) dx = √π
したがって
(6)　　I = √(π) exp(-a^2)
です．

他にも解法があります．
複素積分の応用で

　　　　　　ｙ

　　　　　　│　　　　　
　　Ｄ　　　│　　　Ｃ　
　　　　　　│　　　　　
　　　　　　│　　　　　
　─Ａ───┼───Ｂ─　x
　　　　　　│Ｏ　　　　
　　　　　　│　　　　　
　　　　　　│　　　　　

の A→B→C→D→A という経路で exp(-z^2) を積分すればできます．
CD 線の y 座標は a．
AD 線と BC 線は無限に遠くに持って行きます．
exp(-z^2) は正則関数ですから
この経路で exp(-z^2) を１周積分したものはゼロ．
AB に沿う積分は
(7)　　∫{from -∞ to ∞} exp(-x^2) dt = √π
CD 上では z = x + ai ですから
(8)　　exp[-(x+ai)^2] = exp(a^2) exp(-x^2) exp(-2aix)
で，この実数部が(1)の被積分関数に exp(a^2) をかけたものです．
DA と BC に沿う積分は，無限に遠くに持ってゆくと消えます．
したがって
(9)　　(7) - exp(a^2) I = 0
で(CD の向きに注意)，(6)が再現されます．

第１の解法は実数の範囲で済むけれど，ややトリッキー．
第２の方は，標準的だけど，複素関数論の知識が必要．

ミスタイプがあるかも知れませんので，チェックもよろしく．

この回答へのお礼

ありがとうございます。こんなにすごい回答を見たことありません。
さすがですね、またわからないことがあれば質問しますのでそのときはよろしくお願いします。

お礼日時：2003/07/05 18:52