f:V→Wを体K上のベクトル空間VからWへの線形写像とし,v_1,…,v_(r+m)∈Vの一部v_(r+1),…,v_(r+m)がKerfの基底であると仮定します.
このとき,
(1)f(v_1),…,f(v_r)が線形独立 ⇒ v_1,…,v_(r+m)は線形独立
(2)f(v_1),…,f(v_r)がImfの基底 ⇒ v_1,…,v_(r+m)のVの基底
(3)v_1,…,v_(r+m)がVの基底 ⇒ f(v_1),…,f(v_r)はImfの基底
を証明せよという問題なのですが,どれも途中で詰まってしまい,最後まで示せませんでした.どれか一つでも構わないので,教えていただけると助かります.
よろしくお願いします.
No.2
- 回答日時:
たしかにどこで詰まったか明記しないと
答えても無駄になるな.
ちなみに,一番難しいのは(2)だけども
実際はどれも定義に従って素直にやればとける
基本的なある意味で教育的な問題.
この回答への補足
一応最後まで出来たのですが,自信がないので見てください.
以下,C_1,・・・,C_(r+m)∈Kとします.
(1)
C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0 ー(※) (C_i∈K)
とする.両辺にfを作用させると,fは線形写像なので
C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))=0
また,v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
ここで仮定よりf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立なので,C_1=・・・C_r=0.
よって(※)から,
C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0
で,v_(r+1),・・・,v_(r+m)は一次独立なので,C_(r+1)=C_(r+m)=0.
したがってv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立.
(2)
(i)v_1,・・・,v_(r+m)の一次独立性
(1)より成立する.
(ii)v_1,・・・,v_(r+m)がVを生成することについて
Vの任意の元をxとすると,f(x)∈Imfで,f(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底より
f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=f(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)
⇔ f(x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r))=0
と書ける.すなわち
x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)∈Kerf
また,v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので,
x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
⇔ x=C_1*v_1+・・・+C_r*v_(r+m)
となる.よってVの任意の元が,v_1,・・・,v_(r+m)の一次結合で書けるので,
v_1,・・・,v_(r+m)はVを生成する.
(i),(ii)よりv_1,・・・,v_(r+m)はVの基底である.
(3)
(i)f(v_1),・・・,f(v_r)の一次独立性
C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
とする.このとき
f(C_1*v_1+・・・+C_r*v_r)=0
⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r∈Kerf
ここで,v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので,
C_1*v_1+・・・+C_r*v_r=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r-C_(r+1)*v_(r+1)-・・・-C_(r+m)*v_(r+m)=0
となる.仮定よりv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立なので,C_1=・・・=C_(r+m)=0
よってf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立.
(ii)f(v_1),・・・,f(v_r)がImfを生成することについて
Imfの任意の元をf(x)とすると,x∈Vで,v_1,・・・,v_(r+m)がVの基底より
x=C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
と書ける.このとき,fが線形写像であることから
f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))
で,v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)
よって,Imfの任意の元がf(v_1),・・・,f(v_r)の一次結合で書けるので
f(v_1),・・・,f(v_r)はImfを生成する.
(i),(ii)よりf(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底である.
見にくくて申し訳ありませんが,間違っているところがあれば教えてください.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 線形写像F: F : R^3→R^2 , {x,y,z}→{x+y+3z,2x,3y,4z} ImF 2 2022/10/11 11:21
- 数学 (2)が分かりません。 Imfの基底は行基本変形で求めることって出来ますよね? ここからImfの基底 1 2023/06/04 16:14
- 数学 線形代数学の問題です! Vは 4 次元ベクトル空間とし線形変換 f ∶ V→ V のある基底 v1, 1 2022/06/12 09:25
- 数学 線型空間 V の基底 5 2022/04/03 05:55
- 数学 テンソル積についての質問です。 以下はこうだっんじゃないか劇場です。 軽い気持ちで聞いてください。 1 2022/08/11 19:32
- 数学 線形代数 部分空間 基底 次元 3 2023/01/24 03:40
- 数学 線形写像の全射性 双対空間 1 2022/12/11 18:22
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 Imf, Kerfの基底を求める問題についてです。 (今回はKerfの質問です。) 画像(自分で書い 2 2022/10/30 10:09
- 数学 数学の問題で法線ベクトルについて 5 2022/11/13 12:45
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
NからN×Nの全単写
-
全射・部分写像の個数の問題
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
四次対称群S4が可解群であるこ...
-
初めての複素関数の勉強
-
円→楕円への写像
-
行列の階数
-
体の『同型』と『○上同型』のち...
-
複素数の関数
-
環RについてR加群の短完全列 0→...
-
集合論に強い方、R^2=平面、R^1...
-
商空間とハウスドルフ空間
-
Eを体、PをEに含まれる素体とす...
-
逆写像と逆像の違いがわかりま...
-
数学記号について
-
群論、生成元と関係式
-
Gal_Q(x^4+1)がZ_2×Z_2の同型
-
Lebesgue測度μではμ(S\T)=μ(S)...
-
代数学「素体」
-
写像の記号の、右下の小文字の...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報