ヘリウムの2電子波動関数の基底状態を1/√2・φ_1s(1)φ_1s(2)[α(1)β(2)ーα(2)β(1)]と表す。ここで、φ_1s(1)は1s軌道を電子1が占めていることを示し、α(1)、β(1)は、電子1のスピンが上向き、または下向きであることを示す。同様にして、第一励起状態と第二励起状態の規格化された波動関数を表せ。(複数ある場合にはそれも示すこと)また、その波動関数を使って第二励起状態と第一励起状態についてハミルトニアンの期待値を書き表し、エネルギー差を示せ。また、エネルギー差が生じる理由を述べよ。
という問題で、前半は、第一励起状態1/√2[φ_1s(1)φ_2s(2)-φ_1s(2)φ_2s(1)]α(1)α(2),1/√2[φ_1s(1)φ_2s(2)-φ_1s(2)φ_2s(1)]β(1)β(2)],1/2[φ_1s(1)φ_2s(2)-φ_1s(2)φ_2s(1)][α(1)β(2)+α(2)β(1)],第二励起状態1/2[φ_1s(1)φ_2s(2)+φ_1s(2)φ_2s(1)][α(1)β(2)ーα(2)β(1)]だと思うのですかあってますか?後半で、αやβを含めた波動関数の∫ΦHΦをどうやって求めればいいのかがわかりません。どなたかご教授お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
前半は、あってます。
後半は、スピン軌道に関する積分を軌道に関する積分とスピンに関する積分に分けて、軌道に関する積分をする前にスピンに関する積分をすればいいです(ハミルトニアンがスピンに依存しないのでスピン部分をくくり出すことができる)。
∫dτ_1 dτ_2 = ∫dr_1 dr_2∫dσ_1 dσ_2
平たく言えば、積分の中に現れるα(i)β(i)等を
α(1)α(1)=β(1)β(1)=α(2)α(2)=β(2)β(2)=1
α(1)β(1)=β(1)α(1)=α(2)β(2)=β(2)α(2)=0
に置き換えればいいです(スピン関数の規格直交性)。
あとは丁寧に計算していけば、ハミルトニアン H=h(1)+h(2)+g(1,2)の期待値が
基底状態:2×H_1s + J_1s1s
第一励起状態:H_1s + H_2s + J_1s2s - K_1s2s
第二励起状態:H_1s + H_2s + J_1s2s + K_1s2s
になることが分かります。ただし
一電子積分を
∫φ_1s*(1) h(1) φ_1s(1) dr_1 = H_1s
∫φ_2s*(1) h(1) φ_2s(1) dr_1 = H_2s
二電子積分を
∫φ_1s*(1)φ_1s*(2) g(1,2) φ_1s(1)φ_1s(2) dr_1 dr_2 = J_1s1s
∫φ_1s*(1)φ_2s*(2) g(1,2) φ_1s(1)φ_2s(2) dr_1 dr_2 = J_1s2s
∫φ_1s*(1)φ_2s*(2) g(1,2) φ_2s(1)φ_1s(2) dr_1 dr_2 = K_1s2s
と書きました。
エネルギー差が生じる理由は、「交換積分」について調べてみると分かると思います。
回答ありがとうございます。スピンについてはすこし難しく考えすぎてたようです。Hはスピンには影響をおよぼさないから単純に分けて積分すればよかったのですね。
交換積分という言葉は初めて聞いたので、すこし調べてみたいと思います。ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 水銀原子の基底状態と第2励起状態間のエネルギー差は9.8eVである。第2励起状態から基底状態へ電子が 1 2023/07/19 23:44
- 物理学 素粒子は、空間にある場がエネルギーで励起した波。相互作用がない場合のみ、粒子のように振る舞う 1 2022/06/18 18:46
- 物理学 Wikipediaの「波動関数の収縮」のページには 《量子力学における波動関数の収縮または波動関数の 0 2023/04/08 19:19
- 物理学 無限に深い井戸におけるエネルギーと運動量の分布の矛盾 量子力学 3 2023/01/28 02:10
- 物理学 水素原子のエネルギーは En≅-2.16 (aJ)/n2 とあらわすことができる。 aJ=10-18 1 2022/12/19 07:32
- その他(パソコン・スマホ・電化製品) 先日、OPTIPLEX790を使用しスリープ機能で電源が落ちた後に電源が付かなくなるトラブルが発生し 1 2022/12/20 01:53
- Windows 10 電源オプション設定しても画面オフ、スリープ状態にならない 1 2022/06/16 23:07
- 物理学 電子軌道のエネルギー準位 スピン相互作用 について 3 2022/06/06 22:50
- デスクトップパソコン 突然PCの画面が真っ黒になりグラボ?かCPU?のファン?ブン回りの症状は?? 7 2023/05/26 12:56
- 物理学 電子レンジが物を加熱する仕組みについて 吸収できるエネルギーに限界値はあるのか知りたい。 表題の通り 4 2022/05/06 20:10
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報