極座標で￥与えられたｘｙ平面上の曲線

極座標で￥与えられたｘｙ平面上の曲線
　　　　　　　　　　　　　　　C1:r=1+cos@
C2:r=(1+root2)sin@
C2の内側で、かつC1の外側になる部分の面積を求めよ
　　あまり　わからないんです。　よろしく　お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/05 09:48

図を添付します。

図のθ1はC1とC2の交点のθの方程式から
1+cosθ=(1+√2)sonθ
θ=θ1=π/4
が求まります。

求める面積SはC2の円（半径1+√2）の面積からカージオイドC1の内部の黄色の部分の面積を引けば求まる。θ=0～π/4の範囲の面積は重なっているのでθ=π/4～πの部分について差を取ればよい。

A1=∫[π/4,π]dθ∫[0,(1+√2)sinθ]rdr=((6√2+9)π+4√2+6)/16
A2=∫[π/4,π]dθ∫[0,1+cosθ]rdr=(9π-8√2-2)/16

S=A1-A2
=(3π√2+6√2+4)/8
≒3.226741

No.1 回答者： lord2blue 回答日時： 2010/08/05 00:56

昔の記憶と昔の教科書とインターネットの力を借りてちょっと挑戦してみました。

C1はカージオイドの極座標表示ですね。
xy座標で言えば中心(1/2,0)半径1/2の円(定円)の外側を
それに接する同半径の円(動円)が滑らず転がった時の、動円の定点の奇跡(原点を通るもの)です。(知ってたらすいません)
C2はxy座標で表せば中心(0,(1+√2)/2)半径(1+√2)/2の円でした。


また、原点以外で一点交わる点があります。
C1の右辺をC2の左辺に代入して解くと@＝π/4が出てくると思います。


グラフに書けばわかるのですが、求めたい面積は
円の内側でカージオイドの外側なので、極座標でいえば
π/4≦@≦π
の範囲に存在することがわかります。

あとは積分です。
求めたい範囲ではどの@を取ってもC2のrの方がC1のr以上なので、

　π
∫(1+root2)sin@ - (1+cos@) d@
　π/4

を解けば答えが出る…と思います。

私は
2+√2+5π/4
となりました。


自信あんまりないですが、答えが正しいかが気になります。
もしよければ後々答えがわかった時にでも書き込んでいただければと思います。

失礼します。