多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計

多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計算するには？

xとyに関する多変数関数f(x,y)と、g(x,y)が与えられたとき、微分∂f/∂gを計算するにはどうしたらよいでしょうか？(そもそも偏微分なのだろうか？)

具体例で考えます。

f(x,y) = (x+2y)^2
g(x,y) = x+2y

である場合。当然∂f/∂g = 2 gです。このような場合は問題ありませんが、

f(x,y) = x + 3y
g(x,y) = x + 2y

のような場合はどのように考えたらよいのでしょうか？

全微分の関係を使って考えてみました。

df(x,y) = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 3 dy + O(dx,dy)

dg(x,y) = (∂g/∂x) dx + (∂g/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 2 dy + O(dx,dy)

∂f/∂g = limit_{dx→0,dy→0} df/dg　を考えれば良いのではないかと。

どの方向から極限をとっても極限値が変わらないと仮定して、
つまりdx = dyとして、極限を考えると。

∂f/∂g = 4/3

とても正しいとは思えないのですが、他にどう考えればよいのかわからず悩んでいます。
そもそも、微分が存在しないと言うことなのでしょうか？

質問は以下の2点です。
（１）この様な場合、どのように考えていけばいいのでしょうか？
（２）この様な微分に関して、数学的に何か名前があるのでしょうか？分野名など。

以上
よろしくお願いします。

No.1 回答者： orcus0930 回答日時： 2010/08/20 02:00

無理やり計算してみた．（ちなみにWolfram Alphaは計算してくれなかった．）

f = x + 3y = (x + 2y) +y
g = x + 2y

目的の微分に線形性が成り立つとするなら．

∂f/∂g = 1 + ∂y/∂g = 1 + 1/(∂g/∂y) = 1 + 1/2 = 3/2

違うなｗ

この回答へのお礼

考えてくださってありがとうございますー。

1変数関数であれば、

∂y/∂g = 1/(∂g/∂y)

は成り立ちそうなのですが、多変数関数の場合、
gがg+dgだけ変化したとき、yだけが変化するわけではなく、
xも変化しうるため、上記式は成り立たないのではないかと考えています。

もし、成り立つのであれば、問題は全て解決しそうなのですが・・。

お礼日時：2010/08/20 02:34

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/20 07:47

u=x+2y,v=yと変数置換すると

f=u+v,g=u
∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

> ∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1

vはv=u/2-x/2ともかけますので、
xを独立変数と考える場合、

∂f/∂g=∂(u+u/2-x)/∂u=3/2

となってしまいます。
なんとか、独立に考えれればいいのですが・・。

お礼日時：2010/08/20 16:05

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/20 18:15

#2です。

A#2の補足に関連して

偏微分の定義に帰って考えれば理解しやすいかと思います。

∂f/∂gを考える場合
g=x+2y=uとしてuを1つの変数として考え、偏微分ですからf=x+3yをuとu以外の他の変数vを使って f(x,y)→f(u,v)の様に表現しないといけません。
そしてuで偏微分するときはv=ー定（定数）として扱わないといけません。
A#2では　
u=x+2y,v=yという変数変換を使い、∂f/∂⇔∂(u+v)/∂uで定義しています。
g=x+2y=uと1つの変数で置き換えx+2yは一固まりとして扱わないといけません。
このとき　f=u+v, v=yと書けますので、他の一定とみなすべき変数vはyに相当します。
v=y=一定とした時
∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1 （v=y=一定の元で偏微分が存在し定義される）
となります。

また、A#2の補足の疑問点の場合には
g=x+2y=u,f=u+u/2-x/2=(3/2)u-vと変形できるので
u=x+2y,v=x/2という変数変換を使い、∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂uで定義しています。
この偏微分では、
v=x/2=一定とした時
∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂u=3/2 （v=x/2=一定の元で偏微分が存在し定義される）
となります。

偏微分の変数u,vの定義（変数変換）が異なれば、その変数で定義される
∂f/∂g=∂f(u,v)/∂u
のf(u,v)が異なってきますので偏微分も異なってくるのは当然のことです。

元の独立変数x,yに戻って考えれば、yを一定にして∂f/∂gを考えるか、
xを一定にして∂f/∂gを考えるか、といった立場の違いにより、偏導関数も
異なってくるということですね。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。
お返事遅くなりまして申し訳ありません。

> 元の独立変数x,yに戻って考えれば、yを一定にして∂f/∂gを考えるか、
> xを一定にして∂f/∂gを考えるか、といった立場の違いにより、偏導関数も
> 異なってくるということですね。

なるほど、納得しました。
考えてみれば当然でした。結局答えとしては、解が複数個あるということになるのでしょう。
（無限個あるかどうかは、わかりませんが。）

私が当初想定していたように、答えが一意に定まるとすれば、常微分に一致するはず。
しかし、今回の例ではfがgのみの関数としてあらわす事が（おそらく）不可能であり、結果として常微分にはなりえず、私の期待する唯一の解は存在しない。

おそらく、これが、私の疑問に対する答えのように思います。

非常に参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/21 19:45