高校物理におけるdy/dxの扱い

Question

高校物理におけるdy/dxの扱い

親戚の子の高校物理の問題（高難易度）の解説を見ていて気になることがありました。
途中で微分の式が出てくるのですが、
　　（ナントカ）・dy/dx=（カントカ）
のような式が出てきたのですが、その直後に
　両辺にdxをかけて
　　（ナントカ）・dy=（カントカ）・dx
というような変形をして解説が続いていました。

自分は高校生の時に、数学で「dy/dxは分数ではなく微分の記号。ただし合成関数などの微分では分数のように扱える」とかのように習った記憶があります。しかしこの解説では、dy/dxをもはや分数と同様に扱っているように見えました。

物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？
また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか？

ちなみに自分は数学は大学受験レベルまで、物理は高校の授業レベルの知識ですので、それを考慮して答えていただければ幸いです。

sak_sak · Accepted Answer

ご存知かとは思いますが分数と同様に考えることはできます。
私もそうですが、多くの理科系の人間はdxをΔx(微小増分)のように解釈することがあります。
しかし、飽くまでdxは微積分の記号であり、分数と解釈するのは誤りだと考えます。
もし「両辺にdxをかけて」という表現があったら、数学上の問題があると思います。
これに関しては数学カテゴリで質問し直される方が良いかもしれません。

＞物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？
よくあります。
大学の理科の先生は「dxをかける」という言い方は授業中よくすると思います
(ただし文字として残す場合には気をつけるのが本来です)。

＞また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか？
文部科学省検定の教科書に書かれているのなら問題だと思います
(「発展」や「研究」という名前で“読み物”として扱われているなら別かも)。

市販の参考書や問題集にある、ということなら問題無いと思います。
そのような式変形は知っていると問題集の作者は考えているのでしょう。
そこまで考えていないのかもしれません。
難易度の高い参考書類に大学の知識が出てくるのはよくあることです。
但し、その場合でも「両辺にdxをかけて」という表現には問題があると思います。
(高校生にわかりやすくするためにΔxとdxを混同させているのかもしれませんが…)

naniwacchi · Answer

こんばんわ。

＞物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？
＞また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか？
物理の世界というよりは、高校数学でもこの変形はありますよ。
微積の一番最後ぐらいに、「微分方程式」という項目があったと思います。
ここでは、このような式変形→両辺を積分としています。

よく出る例は、
・放射性物質の半減期を問う問題（数学の教科書なのに）や
・水槽から水を抜いていく問題（水が出る速さが深さの平方根に比例する）
があります。

dyや dxを分数のように扱えるのは、あくまでも 1階微分までです。
2階微分は、d/dx(dy/dx)のように 1階微分の繰り返しとしなければなりません。

高校物理では原則使いませんが、本当の物理学では微分方程式で論じるのが常です。
上記の例も物理現象ですし、違った物理現象などの内容を誘導形式をとりながら論じ解かせる大学もあります。
（東京大学後期の試験では、そのようなものがあったと記憶してます。）

waamos · Answer

高校のカリキュラム的にどうか？というのは分からないのですが、
物理的に大丈夫か？という話であれば問題ないと思います。

むしろ、無限小のdxや積分の∫dxは、現実の有限な世界では
Δxや?Δxになると解釈した方が、物理的な意味が分かりやすく、
計算が楽しくなると思います。（数学の先生は放っておきましょう）

「dfは単なる微小な数」という考えが破綻するのは、
（１）fが多変数関数で、どの変数で微分したdfか区別する必要がある。
（２）fが異様な形の関数で、途切れたり発散している点が密集している。

ぐらいのもので、高校物理ではどちらも必要ありません。

rukuku · Answer

こんばんは

大学の物理学科卒です。
数学的にどう扱うか、ということは少し離れます。

私が高校生の時（１５年くらい前）は物理では微積分は使いませんでした。
（等加速度運動の位置、速度、加速度の関係は公式としてでてはいましたが、
　微積分を使った説明はありませんでした。）
一方、数学では、「紹介」程度で微積分の一例として「自由落下」が出てきました。
（ただ、物理では出てきた「空気抵抗を無視したときの打球」というXYが
　あるようなもののは出てきませんでした）

大学１年生のかなり最初の授業で物体の運動で微積分を使うようになりました。
本当は物体の運動は微積分を使うのがスッキリするのに、高校の物理と数学は
チグハグしていて、うまくかみ合っていないような状態でした。

＞また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか？
これは、場合によっては「問題あり」だと思います。
基礎的な知識の裏付けが十分でないままに、「試験問題を解くテクニック」だけ
を身につけてしまうと、実際の場面で応用が利きません。

高校数学も「応用」と称して難しい問題を解いているうちに基本的なことから
離れていってしまっているのでは？と感じたことがあります。

chikin_man · Answer

＞dy/dxをもはや分数と同様に扱っているように見えました。

（ナントカ）・dy/dx=（カントカ）のdy/dxはたしかに微分の記号ですが
意味があります。

ご存知かと思いますが・・
ある微小な距離（変数）ｘがｘ＋dxだけ変化したときの関数ｙの変化率dy/dxなので、
もともとある分数です。

つまり、{(y+dy)-(y)}/{(x+dx)-x}=dy/dx

（数学上では、ｄｘを極限のゼロ近傍まで持っていったときのｙの変化率としますが・・）

＞物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？
　変数分離というもので、よくやります。

＞また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか？
　詳しく理解する分にはよいかと思いますが・・・
　公式で対応できる範囲であれば、その公式で計算する。
　不可能であれば、微分積分を使うしかないでしょう。

doc_sunday · Answer

>物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？
日常茶飯事です。
受験の数学でも、交換積分で使うでしょう。
また普通の積分でも式の形はdxを積分してyの変化を求めています。

OMTOMC · Answer

そもそもdy/dxというのはyの微小変化をxの微小変化で割るというものです。これは分数のように扱えますよね。しかしながらyの増加量をxの増加量で割るということはちゃんと傾きが出ますし、微分の意味を含んでます。
よって分数のように扱えます

高校物理におけるdy/dxの扱い

ご存知かとは思いますが分数と同様に考えることはできます。

こんばんわ。

高校のカリキュラム的にどうか？というのは分からないのですが、

こんばんは

＞dy/dxをもはや分数と同様に扱っているように見えました。

>物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？

そもそもdy/dxというのはyの微小変化をxの微小変化で割るというものです。

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