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円の中心座標の問題の解き方を教えてください。

問題
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円の中心座標を求めよ

解く方針は以下のようにしました。
中心座標をO(X,Y,Z)とおき、AB、BCとCAの中点をそれぞれ点D,E,Fとして
OD,OE,OFはそれぞれAB、BC、CAと直交することから内積を利用して中心Oを求めようとしましたが、
解けませんでした。

よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (6件)

3点が1平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。


3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもxy平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

(解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2  (2)
(x-2)^2+y^2+(z-6)^2=r^2    (3)

(2)-(3)より
x+y+z=19/2 (4)
(1)-(3)より
x+2y+5z=17  (5)

点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
|x, y,z,1|
|1,-2,1,1| = 0
|3, 1,7,1|
|2, 0,6,1|

4行目を各行から引いて
|x-2, y,z-6,0|
| -1,-2, -5,0| = 0
| 1, 1, 1,0|
| 2, 0, 6,1|

|x-2, y,z-6|
| -1,-2, -5| = 0
| 1, 1, 1|

展開して

3x-4y+z=12 (6)

(4)、(5)、(6)を連立して
x=80/13
y=51/26
z=18/13

この回答への補足

勉強不足かもしれませんが、以下の流れを詳しく説明してもらえませんか。面倒なことすみません。
点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
|x, y,z,1|
|1,-2,1,1| = 0
|3, 1,7,1|
|2, 0,6,1|

4行目を各行から引いて
|x-2, y,z-6,0|
| -1,-2, -5,0| = 0
| 1, 1, 1,0|
| 2, 0, 6,1|

|x-2, y,z-6|
| -1,-2, -5| = 0
| 1, 1, 1|

展開して

3x-4y+z=12 (6)

補足日時:2010/08/25 11:04
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>点A(1,-2,1), B(3,1,7), C(2,0,6)


AB=c=√(4+9+36)=7
BC=a=√(1+1+1)=√3
CA=b=√(1+4+25)=√30

以下のURLに外心G(3点を通る円の中心)のベクトルの求め方が載っています。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part3/linalg/plan …

G(x,y,z)=pA(1,-2,1)+qB(3,1,7)+rC(2,0,6) …(◆)
三角形の面積S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)},2s=a+b+c
とおくと
p=a^2*(b^2+c^2-a^2)/(16*S^2)=57/26
q=b^2*(c^2+a^2-b^2)/(16*S^2)=165/26
r=c^2*(a^2+b^2-c^2)/(16*S^2)=-98/13
2s=7+√3+√30
S^2=2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)=13/2

(◆)から
外心G(xo,yo,zo)=(80/13,51/26,18/13)
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 とりあえず浮かんだ解法を書いてみます。



>中心座標をO(X,Y,Z)とおき、AB、BCとCAの中点をそれぞれ点D,E,Fとして
>OD,OE,OFはそれぞれAB、BC、CAと直交することから内積を利用して中心Oを求めようとしました

 これに、「OがABCと同一平面上にある」という条件を付け加える必要があります。

 一つのやり方は、「OがABCと同一平面上にある」のだから、

 Oの座標は sAB + tAC の形で表せる → O(2s+t,3s+2t,6s-5t)

として、この座標を使って

 OD⊥AB、OE⊥BC の二つ
あるいは
 OA=OB、OB=OC の二つ

を表せば、未知数が s、t の二つなので解けます。

 ただ、いずれにしても計算は面倒になりそうです。ちょっとやってみたら、分母分子が3桁4桁の分数になってしまいました。(計算間違いしてるかも。)


 とりあえず、上のやり方で原理的には解けるはずですが、もっとスマートなやり方があるかも知れません。入試でこんなのが出たら、この解法では時間が足らないかも。
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いえいえ,球ではありません.


3次元空間内で3点で決まる平面内に存在する円です.

・円の中心は3点から等距離にある
・円の中心は平面の方点式を満足する

で解けます.
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問題をよく見なおしてください。



これは円の方程式を求めるのではなく球の方程式ですね。
球を確定するには4点の座標が必要です。
3点では解けっこありません。
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ん~そこまでしたのなら、


・Dを通ってABに垂直な直線(ABの垂直二等分線)の式
・Eを通ってBCに垂直な直線(BCの垂直二等分線)の式
を求めて、その交点を求める方が早いと思うのですが。シンプルな式で解けますし。

参考になれば幸いです。
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