整式P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときの余りが7x、x-3で割ったときの余りが1のとき、P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときの余りを求めよ。
解答
『P(x)を(x-1)(x+2)で割ると余りが7xであるから、
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x』 ・・・(1)
と表せる。
(計算省略)
よって、求める余りは、-2x^2+5x+4
質問は、『 』のところです。なぜ、このような式になったのか、特に、どうしてa(x-1)(x+2)+7 のような式が出てくるのか、理解できません。
教えてください。よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
『P(x)を(x-1)(x+2)で割ると余りが7xであるから、
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x』 ・・・(1)
P(x) を (x-1)(x+2)(x-3) (3次式) で割った余りは2次式ですから、No.1 さんがおっしゃるとおり、余りを「Ax^2 + Bx + C 」(ただし「^2」は2乗の意味)とおくことができます。
このとき、「元の P(x) を (x-1)(x+2) で割った余り」と、「Ax^2+Bx+C を (x-1)(x+2) で割った余り」は一致します。
後者の商は普通の数(「D」とします)になりますし、余りは1次式(「Ex+F」とします)になります。すなわち、
Ax^2+Bx+C = D(x-1)(x+2) + Ex+F
ところが、実際には、P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りは「7x」ですから、
Ex+F = 7x
です。すなわち、
Ax^2+Bx+C = D(x-1)(x+2) + 7x
ここで、改めて「D」を「a」という別の文字に置き換えると(特に意味はありません。たんに文字を変えただけです)、
Ax^2+Bx+C = a(x-1)(x+2) + 7x
したがって、商をQ(x) とすれば、
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x
となります。
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