ある整数nを２で何回か割るとき、割り切れる最大の回数を、f（n）と書く

ある整数nを２で何回か割るとき、割り切れる最大の回数を、f（n）と書くことにします。
f（2）＝1、
f（3）＝0、
f（12）＝2 です。
f（1×2×3×4×5）を求めなさい。 答えは ３ です。

f（1×2×・・・×20）を求めなさい。 答えは １８ です。
どなたか解説出来る方が、いらっしゃいましたらお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kagakusuki 回答日時： 2010/09/27 22:11

5÷2＝2余り1

ですから、1、2、3、4、5の中には2の倍数が2個含まれている事になりますから、

f（1×2×3×4×5）≧2

である事になります。
　又、2の倍数の中には、4の倍数も含まれていますが、

4＝2×2

ですから、4の倍数が含まれている個数が1つ増える毎に、2で割り切れる回数が、2の倍数の個数よりも1回ずつ増える事になります。

5÷4＝1余り1

ですから、1、2、3、4、5の中には4の倍数が1個含まれている事になりますから、

f（1×2×3×4×5）≧「（1×2×3×4×5）の中に2倍数が含まれている個数」＋「（1×2×3×4×5）の中に2倍数が含まれている個数」
＝2＋1＝3

となり、

f（1×2×3×4×5）≧3

である事が判ります。
　同様に、

8＝2×2×2

ですから、8の倍数が含まれている個数が1つ増える事に、2で割り切れる回数が、2の倍数の個数と4の倍数の個数を足した数、よりも1回ずつ増える事になります。
　この様に考えて行くと、

f（1×2×3×4×・・・・・・×[最後の数]）＝「 [最後の数]÷2の答え（余りは無視）」＋「 [最後の数]÷(2×2)の答え（余りは無視）」＋「 [最後の数]÷(2×2×2)の答え（余りは無視）」＋・・・・・・＋「 [最後の数]÷(2×2×2×2)の答え（余りは無視）」・・・・・・・・

という計算を、(2×2×2×2×・・・・・×2)の値が[最後の数]を上回るまで繰り返せば良い事が判ります。

2×2×2＝8＞5

ですから、f（1×2×3×4×5）を求める場合には、[最後の数]を(2×2×2)で割った時の答えまでは考える必要はなく、答えは、5を2と5を2×2で割った時の答えを足した数になります。

　ここまでが、基本となる考え方で、
実際にf（1×2×3×4×5）を求める場合には、次の様にすれば良いと思います。

5÷2＝2余り1
5÷(2×2)＝1余り1
5÷(2×2×2)＝0余り5
従って
f（1×2×3×4×5）＝2＋1＝3

　同様にf（1×2×・・・×20）の場合には、

20÷2＝10
20÷(2×2)＝5
20÷(2×2×2)＝2余り4
20÷(2×2×2×2)＝1余り4
20÷(2×2×2×2)＝0余り20
従って
f（1×2×・・・×20）＝10＋5＋2＋1＝18

となります。

この回答へのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。m(_ _)m

お礼日時：2010/09/28 14:30

No.4 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/09/28 10:40

素因数分解して、2がいくつあるか、ですね。

2の倍数は、10個。(20÷2＝10)
(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)

そのうち、4の倍数は、5個。(20÷4＝5)
(4,8,12,16,20)

そのうち、8の倍数は、2個。(20÷8＝2.5)
(8,16)

そのうち、16の倍数は、1個。(20÷16＝1.25)
(16)

2の因数は、10＋5＋2＋1＝18個

これだと、解りにくいですかね。


別の方法。

2の倍数すべてを素因数分解し、2の因数が何個含まれているかを数える。

2=2
4=2*2
6=2*3
8=2*2*2
10=2*5
12=2*2*3
14=2*7
16=2*2*2*2
18=2*3*3
20=2*2*5

2は18個

この回答へのお礼

ていねいなご説明ありがとうございました。m(_ _)m

お礼日時：2010/09/28 14:32

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/09/27 23:15

ちょっとおもしろい法則を。

５÷２＝２　余り１
２÷２＝１
１÷２＝０　余り１
余り１が２回あったので
f（1×2×3×4×5）＝5-2＝3


２０÷２＝１０
１０÷２＝５
５÷２＝２　余り１
２÷２＝１
１÷２＝０　余り１
余り１が２回あったので
f（1×2×・・・×20）＝20-2＝18


１００÷２＝５０
５０÷２＝２５
２５÷２＝１２　余り１
１２÷２＝６
６÷２＝３
３÷２＝１　余り１
１÷２＝０　余り１
余り１が３回あったので
f（1×2×・・・×100）＝100-3＝97

この回答へのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。m(_ _)m

お礼日時：2010/09/28 14:31

No.1 回答者： frogisfrog 回答日時： 2010/09/27 20:48

2の因数がいくつ入るかという問題ですね。

20のときを説明すれば良いと思いますが、
まず2の倍数は2,4,...,20と10個あります。
しかし、これだけでは4など、もっと2が入っているものを数え切れません。
そこで、4,8,16についてはそれぞれ別に数えます。
(4のときに、2が2個あるからといって2倍にしないのは、
2の倍数のときに既に一回カウントされているからです。
8のときも同様で、2,4の時に一回ずつカウントされています。)
4の倍数は4,8,..20と5個あります。
8の倍数は8,16と2個
16の倍数は1個です。

合計すると
10+5+2+1 = 18
ですね。