No.2
- 回答日時:
三角錐の体積は、底面積×高さ÷3 です。
求めたい垂線の長さをxとすれば、三角錐O-ABCの体積は、
△ABCは1辺5√2の正三角形なので、(50√3)*x/3
一方、△OACを底面と考えれば、1000/6
これが一致することからxが求められます。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
この問題は、三角錐O-ABCの体積を2通りの方法で求めてやれば解答はすぐでます。
まず、立方体は正方形の集まりであり、すべての辺が10であることを念頭に置いて解いていきます。
三平方の定理を用いて、辺AC、AB、BCの長さを求めます。
一辺の長さが10ですから、AC^2=10^2+10^2 AC=√200=10√2
他の辺AB、BCも同様に求めて、AB=10√2、BC=10√2
三角形ABCはAB=BC=AC=10√2であることから正三角形であるとわかる。
ここで、辺ACに中点Mをとり、AM=5√2とする。
ここから、三平方の定理を使って、辺BMを求める。
AB^2=AM^2+BM^2
BM^2=200-50=150
よって、BM=5√6
したがって、三角形ABCの面積は、
BM×AC×1/2=10√5×5√6×1/2=25√30
そして、求めるべき値、頂点Oから底面ABCに引いた垂線を仮に辺OLとします。
以上の条件を使って、三角錐O-ABCの体積を2通りで出します。
1)OB×(OC×OA×1/2)×1/3=10×50×1/3=500/3
2)(BM×AC×1/2)×OL=25√30×OL
1、2はどちらも三角錐O-ABCの体積を求めたものなので以下の式が成り立つ
25√30×OL=500/3
これを解くと、OL=500/3×1/25√30
=20/3√30
=2√30/9
よって、求める値は2√30/9
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