熱力学に関する問題で質問です。

断熱変化の場合、密閉されているピストンで、体積を微小ΔVだけ変えた場合、圧力の変化は無視していいのでしょうか？

ある問題で、気体のした仕事の大きさを求める問題で、圧力の変化は無視していて、疑問に思ったので質問しました。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/11/29 06:10

体積の変化が微小であれば圧力の変化も微小です。

気体のする仕事 pΔV で、p に微小変化を考慮して、例えば p + (1/2)Δp としても、
{p + (1/2)Δp}ΔV
= pΔV + (1/2)ΔpΔV
のように、Δp を含む項は2次の微小量になるので、ふつうは無視してよいと思います。

体積の変化が微小でない場合には、圧力の変化は無視できません。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/11/29 19:18

面積を求める時に∫ｆ(ｘ)ｄｘとしますね。

ｘが変わればｆも変わる時の考え方です。
ｘがｘ＋ｄｘになった時、ｆはｆ＋ｄｆになります。
このｄｆがｆに比べて小さくなるようなｄｘを取っています。

断熱変化であれば
ＣｖｄＴ＋ＰｄＶ＝０
これは微小変化についてです。一定の体積変化△Ｖ＝Ｖ'－Ｖがあれば当然圧力もかなり変わっていますから仕事はＰ△Ｖにはなりません。積分で求めることになります。
断熱条件でのＰ，Ｖの変化を示すグラフについてＰｄＶを積分します。
このグラフは断熱変化という項目で教科書に載っているはずです。

１ｍｏｌの理想気体であれば
ＣｖｄＴ／Ｔ＋ＲｄＶ／Ｖ＝０
Ｃｖ∫ｄＴ／Ｔ＋Ｒ∫ｄＶ／Ｖ＝０です。
Ｃｖln((Ｔ＋△Ｔ)／Ｔ)＋Ｒln((Ｖ＋△Ｖ)/Ｖ)＝０
この式を状態方程式
Ｒ(Ｔ＋△Ｔ)＝(Ｖ＋△Ｖ)(Ｐ＋△Ｐ)
ＲＴ＝ＰＶ
を使って書きなおせば
Ｒln((Ｐ＋△Ｐ)/Ｐ)＋(Ｒ＋Ｃｖ)ln((Ｖ＋△Ｖ)/Ｖ)＝０

微小変化の意味で△を使っている、または△の意味を微小変化にスライドさせて積分が意味を持つようにしている本がありますから混乱しないようにする必要があります。

No.2 回答者： jamf0421 回答日時： 2010/11/29 09:03

定圧の変化（1気圧に保って昇温で膨張の時の仕事など）であるなら仕事はPΔVで問題ありません。

断熱変化ならPV^γ=C(一定)の関係がありますので、Vだけ変化して圧力が変化しない、という計算はされないはずです。
ただし断熱変化の場合、内部エネルギー変化が仕事量に対応しますのでCvΔTで内部エネルギーを計算してこれを仕事量とするのが普通でしょうが。