利用規約の変更について

大学で物理を学んでいます。
課題が出たのですが、分からないのれでアドバイスをいただけたらと思います。

問いは下のようなものです。
 「半径Rの球内部に、一様に電荷Qが分布している。
  (1)球の中心から距離rでの電場Eは?
  (2)ビーズのようにこの球の中心を通る直線状の孔を空け、電荷q、質量mの
    小球を入れたところ、振動した。この振動の周期は?
  (3)この孔に初速度Voで小球を入れるとどのような運動をするか?」


(1)は、なんとか解けたと思っています。
球対称な電荷分布なので、電場の式E=Q/(4πεr^2)に、
r≧aのときはQ=Q、r<aのときはQ=Q(r/a)^3を代入しました。

(2)と(3)が分かりません・・・。積分の式も立てられないです・・・。
お時間が許せば、立式と計算と答え、全部知りたいところですが、
何でもアドバイスいただければうれしいです^^;;

詳しいかたおられましたら、よろしくお願いしますm

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A 回答 (6件)

課題ですから、ヒントだけ



(2) r <= R では E は r に比例しますから、小球に働く電気力も r に比例します。摩擦力など他の力は働かないとするのが題意でしょう。するとこの場合の運動はバネに付けられた質点の運動と同じで単振動です。単振動の周期の求め方は既習だと思います。必要なら復習してください。

(3) 小球は孔の他端から同じ速度で飛びだします。小球が孔の中にある間は、小球の運動は単振動の一部であり、その位相と振幅は初期条件(時刻 0 で 変位が R または -R、速度が V0)から決まります。孔の他端から飛び出した後は r^2 に比例する引力を受けますが、これは万有引力の下での運動と同じです。これについても、必要なら復習してください。V0 の大きさによって、戻ってくる場合と、無限遠に飛び去る場合があります。
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5です。



先にこたえられている方がいますが、(3)の問題で突き抜けた後引き戻されるというのを見落としていました。
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方程式を立てたいという話であるなら、(2)は次のようにすれば解けそうですね。



球体内部の問題であるので、電場は

E=Q(r/a)^3/(4πεr^2)=Qr/(4πεa^3)

とrに比例した値となる。運動が今考えている直線のみに束縛することが可能であるとして、たぶんqではなく-qとおけば、運動方程式は

m d^2r/dt^2 =-qQr/(4πεa^3)

⇒ d^2r/dt^2+qQ/(4πεma^3) r = 0

後はForier変換で周波数出すなり、y=sin(ωt)を仮定してこれを満たすωから周期を出すなりしてみてください。

この方程式解けばわかることですが、球の両端で速度が0になるようです。言いかえれば両端で運動エネルギーが0となるわけですね。

(3)はそういう状況の下で片方の端で速度をV0にしてしまっているわけなので余分な運動エネルギーがあります。このエネルギーはもう反対方向に粒子が達しても残ってしまうので、結果突き抜けてしまうが正解かと思われます。
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 #3です。

うわあ、単純だが重大なミスです。球を地球と読み替えてください(でないと、gが意味不明です)。ごめんなさいです。
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>(1)は、なんとか解けたと思っています。



 答えが定性的に合っているかのチェックの方法。r≧aのとき、電荷が球のの中心に全電荷が集まったのと同じ式になっているかどうか。r<aのとき、半径aの球の表面にいるかのようになっているか(つまりrより外側からの影響が0になる)。

 電磁気力と万有引力は式の形が同じです。(2)について、万有引力の場合の似たような問題を書いて見ますから、比べて参考にしてください。

問)半径Rで密度が一様にρの球がある。球の中心を通る細い穴を掘った。球の表面から穴に物体を落下させると物体は単振動を行うことを示し、その周期を求めよ。

答)球の中心から距離x(≦R)にある質点に働く力は、羽気xの球の質量(4π/3)x^3ρが中心に集まっているとしたときの万有引力、
 F = -Gm(4π/3)x^3ρ/x^2 = -(Gm(4π/3ρ)/x - (1)
となって復元力が働くことが分かる。x = Rのときは、F = -mgとなるはずだから、
 mg = Gm(4π/3)ρR ∴G = (3/4π)(g/ρR)
であるので、(1)は、
 F = -mgx/R - (3)
そこで、k = mg/Rとすると、これはばね定数kのばねの運動と同じで、その周期Tは、
 T = 2π√(m/k) = 2π√(R/g)
となる。

 ちなみに、この周期は球の表面すれすれを万有引力で円運動する物体の周期と一致します。

 ここまで来たら、後少し。初速度があるということは、その初速度を与える高さから落下させたのと同じことですね。
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訂正です。

#1の

>孔の他端から飛び出した後は r^2 に比例する引力を受けますが、

で、「比例」は間違いで、正しくは「反比例」です。
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Aベストアンサー

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参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p0idxA.ssi

Q球の電場においての問題で・・・

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ymmasayan さん,
揚げ足取りみたいで大変失礼ですが,
球の体積の因子 4/3 をうっかり書き落としておられます.

全球の体積:(4/3)πa^3
単位体積あたりの電荷密度 ρ = Q/{(4/3)πa^3}
半径rの球の内部の電荷 q = ρ(4/3)πr^3 = (r^3/a^3)Q

4/3 は分母分子の共通因子でキャンセルしますから,
今の問題では幸い結果に影響は及ぼしませんでした.

vikkyi さん:
> 電荷は体積に比例するということが成り立つということですか??

これを見ますと,問題の「一様に分布」を理解されていないのでは
ないかと思われます.
「一様に分布」というのは,
どの部分を取っても同じ密度(単位体積あたりの電荷の密度)で分布,
ということです.
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>いったいどこを見て電荷や両電荷間の距離がわかるのですか?表などがあるのでしょうか?

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   ↓
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   ↓
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以上、ご参考まで。

参考URL:http://www.shse.u-hyogo.ac.jp/kumagai/eac/chem/lec6-2.html

Q研究室訪問メール、添削してください;;

私は理系大学3年で大学院(修士)を目指しています。
院ではOSを研究したいと思っています、そこで第一希望の研究室(他大学、国立)にメールでアポイントをとって研究室訪問を考えていて、研究室の教授宛てにメール本文を作ったのですが自信がないので添削してください。
ここ失礼じゃん!くどい!といったことでも何でもいいのでアドバイスを頂けましたら幸いです。


件名 研究室訪問について

/* 本文↓ */
XX教授    /* XX様の方がいいですか? */

XX大学XX学部XX学科3年生の"本名"です。
私は博士前期課程に進学を希望していて、システムソフトウエア(OS)の研究をしたいと考えています。
XX研究室のHPを拝見しました、特にXX研究室で研究しているXXの柔軟性にとても興味があります。
つきましては教授のご都合の良い日時にお会いしてお話を伺いたいです。
お忙しいところお手数をおかけして恐縮ですが、よろしくお願い致します。

XX大学XX学部XX学科3年生 "本名"
"電話番号" "メールアドレス"

Aベストアンサー

大学の理系についての風土を知らないので、一般社会の感覚からお答えしたいと思います。理系独特の礼儀がある場合があるかもしれないので、ご参考までということでご覧下さい。

まず、「メール」でのアポ取りとのことですが、その方法が最善なのでしょうか?おそらくサイトの連絡先にメールアドレスがあったということでしょうが、メールの場合、相手に読まれるかどうか、すぐに開封してもらえるかどうかという点で不安が残る側面がありますので注意なさった方がよいと思います。確実なのは電話でしょうね。その他にも手紙やFAXという連絡手段もあります。どれを選択するのかを再確認なさった方がよいかと思います。

上記をふまえて、メールの添削です。


---------------
/* 件名↓ */
研究室ご訪問のお願い【XX大学・XXと申します】

/* 本文↓ */
XX大学XX学部XX学科 XX教授

突然のご連絡で失礼いたします。
XX大学XX学部XX学科3年生の"本名"と申します。
貴大学のサイトを拝見いたしましてXX享受の研究に興味をもち、お話をうかがいたく、ご連絡差し上げた次第です。

現在、私はXX大学の3年生ですが、卒業後は博士前期課程に進学を希望しております。
そちらでは、システムソフトウエア(OS)の研究をしたいと考えています。

この度、XX研究室のHPを拝見し、XXの柔軟性に非常に興味をもちました。

よろしければ、こちらの研究につきましてお話をうかがいたく、お時間頂戴することは可能でしょうか。
もし可能でしたら、○曜日の○時から○時の時間帯に貴研究室にうかがうことが可能なのですが、ご都合いかがでしょうか。

突然の勝手なお願いで大変恐縮ですが、お時間を頂戴することが可能かどうか、また可能であればご都合よろしいお時間をうかがえれば幸いです。

お忙しいなかお手数をおかけしまして大変恐れ入りますが、どうぞ宜しくお願い申し上げます。

なお、ご返答につきましては、こちらのメールアドレスにそのまま返信していただければ結構です。

以上

"本名"
XX大学XX学部XX学科3年生
"電話番号(固定)" "電話番号(携帯)"
"メールアドレス"
"住所"
---------------

■件名
「お願い」ということばを入れたほうがよいかと思います。相手にとっては突然の連絡なのですから。

■宛名
肩書きも入れた方がよいかなと思います。共用のメールアドレスである場合、他人が見る可能性もあるのですから、なるべく個人を特定できるかたちで。また、ビジネスメールでも、会社名・部署は書きますし。

■あいさつ
突然の連絡ですので、非礼を詫び、自己紹介、簡単な経緯説明という流れで、相手に状況をわかっていただくようつとめた方がよいかと思います。
あるいは、拝啓などの手紙の定型文を採用するのも一案です。

■詳しい自己紹介と経緯説明
あいさつ文とかぶる内容ですが、ここが肝です。例文でわからなかったので、少ししか書いていませんが、ここでもっと自分をアピールするとよいかと思います。今まで何を研究してきて、教授のところで何を学びたいのかということを言えばよいと思います(長すぎたらダメですけどね。2パラグラフくらいが目安でしょうか。)。相手にとっては、研究心に燃える学生が連絡をくれることは嬉しいことでもあるのですから、そのあたりをアピールした方がよいと思います。

■アポ取り
順序としては、訪問してもよいかどうかを先ずうかがい、それを踏まえて都合を聞くという流れが丁寧かと思います。ただ、訪問するくらいはOKという想定もできますし、自分の都合の良い時間帯を提示しておくと話がスムーズに進むでしょう。相手に選択肢を示し、その中から選んでいただくわけです。

もう一つ欲を言えば、話をうかがう時間がどのくらいになるかも示せればという気がします。一時間ですむのか、三時間くらいじっくり話したいのか。。。

■まとめ
最後にあらためてあいさつをしながら、相手に何をしてほしいのかをまとめておくとよいでしょう。

■署名
僕だったら、あらゆる連絡先を示しておきますが、これは自由。アピールのため、所属よりも先に名前をおきます。

---------------

長くなってしまいすみません。
あくまでもご参考ということでご覧下さい。
僕のメール文は、非常に丁寧な書き方ですので、場合によってはもう少し、くだけてもよいかもしれません。
あと、サイトに表示されるために改行は入れませんでしたが、適度に改行を入れることが必要ですね。

大学の理系についての風土を知らないので、一般社会の感覚からお答えしたいと思います。理系独特の礼儀がある場合があるかもしれないので、ご参考までということでご覧下さい。

まず、「メール」でのアポ取りとのことですが、その方法が最善なのでしょうか?おそらくサイトの連絡先にメールアドレスがあったということでしょうが、メールの場合、相手に読まれるかどうか、すぐに開封してもらえるかどうかという点で不安が残る側面がありますので注意なさった方がよいと思います。確実なのは電話でしょうね。そ...続きを読む

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。

Qコンデンサに金属板を挿入した時の問題なのですが参考書の解説ですと金属板の厚みも計算にいれて考えてます

コンデンサに金属板を挿入した時の問題なのですが参考書の解説ですと金属板の厚みも計算にいれて考えてます。
結果全体AB間の電圧も変わると書いてあります。

しかし私はコンデンサに金属板を挿入した時、上下の直列接続として計算できるので全体の電圧としては変わらないと考えていました。

他の問題を見ても厚みの事には触れていないようですし、かといって厚みを無視すると参考書の式(d=d1+D+d2)も変わってきてしまいます。
もしDを無視するとd=d1+d2となり、やはり全体の電圧としては変わらないのではないでしょうか

私の考え方のどこを間違えているのでしょうか

Aベストアンサー

>電位Vは1クーロンの電荷を電場Eに逆らいd(m)動かすのにした
>仕事の事なのでV=qEd
>電池からコンデンサを取り外して金属板を挿入した時にする仕事を考えますと
>金属板の中は電場は0なので仕事も0なので金属板の中では
>電位が加算されないので全体の距離から金属板の厚みを差し引かなければならない

あってがいますが、ちょっと危なっかしい感じがします。教科書通りに

V = d1・E + D・0 + d2・E = d1・E + d2・E = (d1+d2)E

と電位差を積みあげて考えるのがシンプルでしょう。

積分やベクトルをご存知なら、電位差は電場の線積分と覚えるのがもっともシンプルで
応用がききます。


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