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急募

点電荷Bをx=2の位置で静かに放すと,Bは動き出した。Bが動き 出した後の運動について説明した文として最も適当なものを、次の①~⑤の うちから一つ選べ。
ただし, 空気抵抗は無視できるものとする。但し静電気力の位置エネルギーの基準は無限遠、重力に位置エネルギーの基準は0とする。

①ゆっくりとx=αの位置まで移動し, その後静止する。
② 等速直線運動する。
③等加速度直線運動する。
④ x=a/2からx=3a/2の位置までを往復運動する。
⑤ x=a/2から x=2aの位置までを往復運動する。

という問題で下の図が与えられています

自分は4番にしたのですが5番が正解の理由が分かりません

単振動ではないんですか?

「急募 点電荷Bをx=2の位置で静かに放す」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • X=2aでした…aが抜けました(1行目)ごめんなさい

      補足日時:2022/08/08 13:27
  • いやa/2です すみません

      補足日時:2022/08/08 13:27
  • お礼に写真が送れないのでこちらに

    こちらのサイト(https://physicmath.net/974/)のような考え方と写真のような考え方を使ったらできる気がするんですが

    それを使ってこの問題の式を立てると

    ma=-kq^2/a^2(-q^2/kx^2mgsinθ+1/k^2)

    となり復元力になるような気がするんですが
    自分がどこかで間違えているんでしょうか

    「急募 点電荷Bをx=2の位置で静かに放す」の補足画像3
      補足日時:2022/08/08 21:57
  • ただし今回は-a/2が最下点なので近似ではない

    かかる力が
    釣り合いの位置からみて
    正の位置にある時と負の位置にあるときで
    復元力の式が変わってしまう

    なので単振動で見なせないという訳ですか?

      補足日時:2022/08/10 00:02
  • 多分これに影響されてます……
    この場合は単振動なんですよね?
    この場合摩擦力は一定(向きが変わるだけ)なのにバネの力は変数(釣り合いの位置から力が変わる)なのに
    対称なんですか?
    よく分からないです……

    「急募 点電荷Bをx=2の位置で静かに放す」の補足画像5
      補足日時:2022/08/10 09:52
  • ……合ってますか?

      補足日時:2022/08/13 14:33
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A 回答 (10件)

No.9 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>釣り合いの位置からの変位が対称かつ釣り合いの位置からの振り幅が対称
>であれば単振動
>それ以外ではエネルギーが保存しているならそこに着目して
>単純に振動や往復運動とみなしてとく
>釣り合いの位置から微小の範囲であれば単振動と近似できる
>とゆうことでしょうか?

なぜそこまで「単振動」という現象にこだわるのか分かりませんが、概ねそんなことでよいと思います。

ただし、
「釣り合いの位置からの変位が対称」
というのは
「働く力が、釣り合いの位置からの変位比例して対称」
なので、結果として
「釣り合いの位置からの振り幅が対称」
で、かつ
「周期が一定」
ということになります。
それが「単振動」ということになります。

ただし、それが分かったからといって、「それ以外では」とやり方を区別するという考え方はおそらく間違っています。


>それ以外では

「単振動」の場合であろうがなかろうが、「力」に着目して「運動方程式」から解くか、「力学的エネルギー保存」から解くか、「力学的エネルギー以外も含めたエネルギー保存」から解くかなどは、対象となる現象や条件によります。
それは「単振動とそれ以外」ということではありません。

どうやら、質問者さんは「○○の場合には△△で解く」といった「丸暗記」で対応する道に陥っているようです。
そういう「丸暗記」では、教科書的な典型的な問題には対応できても、現実に起こる非定型的な現象や複雑な組合せ現象には対応できません。
あくまで起こっている現象の把握と、その現象がどんな物理法則・条件なのかを「想像する」力が大事です。そういった「同定」をした上で、問題解決の道筋を考える考察力が必要になります。

くれぐれも、「解き方のパターンを丸暗記する」などという無駄なことに時間を割かず、「物理現象を正しく想像する」方に時間をかけるようにしてください。
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No.8 です。



>すみません まだよく分かっていません

「何をもって『単振動』と呼ぶか」を真剣に分かろうとする必要はありません。

あなたの疑問は「中立点から対称ではない振動」ということで解決しているはずです。

「単振動」とは #5 に書いたように
「量の時間変化が三角関数で表される振動」
のことを言います。
それは振動そのものが対称性をもちますが、そのための必要条件として「力の対称性」があります。

「重力下での上下ばね」は、おもりの重力でのつり合い位置からの変位を考えれば、つり合い位置を中立点とした単振動になります。

>xを釣り合いの位置からの変位 ばね定数をkとする
>ma=mg-kx
>mg=kd (dは自然長からの伸び)
>より
>ma=-k(x-d)
>x-d=Xとおけば
>ma=-kXとなり単振動とみなせるようですが

と書かれているとおり、X = x - d が「中立点からの変位」であり、働く力はその変位に対して「対称」になります。

これに対して「2022/08/10 09:52」の補足であげている「減衰振動」の場合は、運動向きによって摩擦力の方向が変わるので「対称」とはいえません。
 ma = -kx + μmg
になったり
 ma = -kx - μmg
になったりするからです。
その画像での説明もなんか紛らわしいのですが、「上半分」の説明と「下半分」の説明では各々の範囲では「一見単振動」のように書いてありますが、「中立点」の位置が変わっているので、両方合わせた全体の運動としては単振動ではありません。「行きと戻りで中心位置が変わるため振動が減衰していく」とテキトーに説明していますが。
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この回答へのお礼

最後に確認を

釣り合いの位置からの変位が対称かつ釣り合いの位置からの振り幅が対称

であれば単振動

それ以外ではエネルギーが保存しているならそこに着目して

単純に振動や往復運動とみなしてとく

釣り合いの位置から微小の範囲であれば単振動と近似できる

とゆうことでしょうか?

お礼日時:2022/08/11 23:37

No.7 です。



>の質問の写真にある画像の運動は力が小さいから振り幅がたまたま釣り合いの位置から対称になるので単振動とみなすことが出来て

いいえ。
#7 に書いたとおり「減衰振動」であって「単振動」ではありません。
対称性があっても振幅が一定でなければ「単振動」とは呼びません。


>1番最初の質問はNo6にあったように過減衰になるほど抵抗が比較的大きいから見なせない

>ということでしょうか?

いいえ。最初の質問は減衰はありません。
対称性がないので「単振動」とは呼びません。


>とりあえず高校物理の間は振り幅が対称ではなくエネルギーが等しい位置で振動をする場合は
>往復運動とみなせばいいですか?

意味不明ですが、「力の働き方が変位のみに比例して、変位の正負に対して対称」であり、力学的エネルギーが保存されるという極めて特殊な場合だけが「単振動」と考えてよいと思います。

それ以外は単なる「振動」「往復運動」です。
バウンドして弾むボール、トランポリンなども。

>(流石に入試に過減衰はでませんよね……)

分かりません。摩擦などの非保存力まで含めた「仕事」「エネルギー保存」の問題としては出る可能性はあるかな?
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この回答へのお礼

すみません まだよく分かっていません

力の働き方が変位のみに比例して、変位の正負に対して対称

鉛直ばね振り子の場合は力の働きは変位のみに比例しておらず変位の正負に対して対称というわけでもないです(一定の重力が働くため)

しかしこれは振り幅が釣り合いの位置から対称であるから単振動とみなせるようです

xを釣り合いの位置からの変位 ばね定数をkとする

ma=mg-kx

mg=kd (dは自然長からの伸び)

より

ma=-k(x-d)

x-d=Xとおけば

ma=-kXとなり単振動とみなせるようですが

これは振り幅が釣り合いの位置から対称であるからですか?

必ずしも力が対称である必要はないということでしょうか?

お礼日時:2022/08/11 19:45

No.6 です。

「補足」(2022/08/10 09:52) について。

>この場合摩擦力は一定(向きが変わるだけ)なのにバネの力は変数(釣り合いの位置から力が変わる)なのに
対称なんですか?

その事例は「減衰振動」と呼ばれるものであり、「単振動」ではありません。
摩擦力は、変位が「プラス方向」のときと「マイナス方向」のときとで逆向きになり、復元力と逆向きなので、振幅が小さくなっていきます。
こんな感じになります。

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …

ただし、減衰振動の場合にも、摩擦力が大きいときには、振動のしかたが「対称」にはなりません。
こんな場合。

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …


質問者さんの疑問は、どうやら「現象の呼び名」ということのようですね。
一般の「振動」現象の中に、
・振幅、周期が一定の「単振動」
・振幅が減衰していく「減衰振動」
・外から振動が加わる「強制振動」
・ばねとおもりを複数つなげた「連成振動」
・「うなり」のような複数の振動の重ね合わせ(うなり振動)
などがあり、「単振動」はその中の最も「単純な振動」のことを指します。
だから「単」振動。

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …

最初の質問に書かれた振動も「単振動」ではありません。
単振動では「振幅が一定」なので、振動の「中立点」は振幅の中央になりますが、質問に書かれたものは働く力が「対称」ではないので、中立点が中央にはなりません。
最初から「中立点は振幅の中央に来るものだ」と思い込んでいたことが、間違いの要因となったようです。


ただし、質問の過程で出て来た「中立点近くの微小な範囲であれば、単振動とみなせるはず」といった発想は、けっこう大事なことです。
これから先の大学などで学ぶときには、そういった「微小部分」に着目して、それを全体に拡大していく「微分」「積分」という考え方を使う場面が多くなります。
ニュートンやライプニッツなどの先人たちが、そういうやり方で現象を解析し、「手法」にまとめ上げてくれたおかげで、現在では効率的に問題解決を進めることができます。
しかし「未知の現象」や「目の前の問題」を解明するときには、起きていることの裏で何が起こっているのかを想像したり「仮説」を立てたりして、それを「微小部分ではこうみなせる」とか「こう近似できる」として推論していくことが多くなります。(単純に「この公式に代入して・・・」で解けるような問題は「テスト」以外にはほとんどありませんから)
そういう発想を大事にして、頭を柔らかくして、勉強して行ってください。
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この回答へのお礼

つまり

>>> 多分これに影響されてます……
この場合は単振動なんですよね?
この場合摩擦力は一定(向きが変わるだけ)なのにバネの力は変数(釣り合いの位置から力が変わる)なのに
対称なんですか?
よく分からないです……

の質問の写真にある画像の運動は力が小さいから振り幅がたまたま釣り合いの位置から対称になるので単振動とみなすことが出来て

1番最初の質問はNo6にあったように過減衰になるほど抵抗が比較的大きいから見なせない

ということでしょうか?


とりあえず高校物理の間は振り幅が対称ではなくエネルギーが等しい位置で振動をする場合は
往復運動とみなせばいいですか?

(流石に入試に過減衰はでませんよね……)

お礼日時:2022/08/10 15:08

No.4&5 です。



#5 の「お礼」に書いている

>でも極小であれば等速円運動とみなすことができる
ということでしょうか?

の「極小」とは、#4 の「お礼」に書いている

>y<<a の条件が与えられれば

ということですか?

そもそも

a/2 ≦ x ≦ 2a

で往復運動するのだから
 y<<a ←→ x - a << a ←→ x << 2a
など成立しないことは自明ですよね?

なんか、非論理的な机上のトンデモ空論をしていませんか?
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No.4 です。



そもそも、質問者さんは「単振動」の定義をご存じなのですか?
単なる「往復運動」を指すのではありません。

下記のように「量の時間変化が三角関数で表される振動」のことを言います。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF …

>かかる力が
>釣り合いの位置からみて
>正の位置にある時と負の位置にあるときで
>復元力の式が変わってしまう

>なので単振動で見なせないという訳ですか?

はい、そういうことです。
三角関数で表される運動にはなりませんから。

単なる「往復運動」「振動的な運動」です。
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この回答へのお礼

つまり等速円運動をしていない
ということですね(スクリーンに映し出す前の時)

でも極小であれば等速円運動とみなすことができる
ということでしょうか?

お礼日時:2022/08/10 00:35

No.3 です。



質問の問題の場合、運動の現象としては

・床にボールが完全弾性衝突して「バウンド」を繰り返している運動
(下がら上へはボールの弾性による復元力、跳ね返った後の上から下へは重力)

・トランポリンでの上下運動
(下から上へはトランポリンによる復元力、跳び上がった後の上から下へは重力)

のようなものに似ています。

これらは、往復運動をしますが「単振動」とは呼びません。

質問のケースも、「斜面上下に往復運動」をしますが、それを「単振動」とは呼びません。
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この回答へのお礼

つりあいにより
kq²/a² = mgsinθ

kq²(1/x² - 1/a²)
と変形して

つり合い位置からの変位 y=x-a を用いれば
kq²{1/(a+y)² - 1/a²} = kq²/a² {(1+y/a)^(-2) - 1}

y<<a の条件が与えられれば続けて
≒ kq²/a² (1 - 2y/a - 1)
= - 2kq²/a³・y
となり単振動近似が可能ではないでしょうか?

お礼日時:2022/08/09 23:41

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

>こちらのサイト(https://physicmath.net/974/)のような考え方と写真のような考え方を使ったらできる気がするんですが

そのサイトの条件は、左右に同じ電荷 Q があって、中央に置かれた電荷はその両方から左右対称の復元力を受けます。
そして、その復元力は、中立位置からの変位に比例するように近似できます。


一方、質問の場合には、一方は「クーロンりょく」、他方は「重力」であって左右対称となりません。

立式すると、#1 に書いたように

B に働く力は、
・斜面下向きに重力:F1 = -mgsinθ
・斜面上向きにクーロンりょく:F2 = kq^2/x^2

なので、加速度を a として、運動方程式は(斜面上向きを正)
 ma = kq^2/x^2 - mgsinθ
です。

ただし、この場合の x は「斜面下端」からの距離であって、「中立位置からの変位」ではありません。
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No.1 です。



>X=2aでした

>いやa/2です すみません

んん? どういうこと?

最初の位置は x = a/2 ということ?

ということは、

まずは、x=a で重力と静電力とがつり合うので、k をクーロン定数として
 mg・sinθ = kq^2 /a^2       ①

(i) 最初の状態
・重力による位置エネルギー
 Ep1 = mg・(a/2)・sinθ = (1/2)mga・sinθ
・静電エネルギー
 Ee1 = kq^2/(a/2) = 2kq^2 /a
 これを①の関係で書き換えれば
 Ee1 = 2mga・sinθ
・運動エネルギー
 静止しているので
 Ek1 = 0

(注)x=a/2 における静電エネルギーは、斜面上の位置 x にあるときの静電力
 F = kq^2/x^2   ②
を、力とは逆向きに静電エネルギーの基準である無限遠から a/2 まで運ぶときの「仕事」なので、②を積分して
 Ee1 = ∫[∞→a/2](-F)dx
= ∫[∞→a/2](-kq^2/x^2)dx = [kq^2/x][∞→a/2] = kq^2/(a/2) = 2kq^2/a

(ii) 最上点の状態
・重力による位置エネルギー:位置を x=b として
 Ep2 = mgb・sinθ
・静電エネルギー(k:クーロン定数)
 Ee2 = kq^2/b
 これを①の関係で書き換えれば
 Ee2 = (mga^2 /b)・sinθ
・運動エネルギー
 静止しているので
 Ek2 = 0

(i) と (ii) の力学的エネルギー保存より
 Ep1 + Ee1 + Ek1 = Ep2 + Ee2 + Ek2
→  (1/2)mga・sinθ + 2mga・sinθ = mgb・sinθ + (mga^2 /b)・sinθ
→  (5/2)mga・sinθ = mgb・sinθ + (mga^2 /b)・sinθ
これから、両辺に 2b/(mg・sinθ) をかけて整理して
 2b^2 - 5ab + 2a^2 = 0
→ (2b - a)(b - 2a) = 0

よって
b = a/2, 2a

従って、Bは x= a/2 ~ 2a の間で運動します。


>単振動ではないんですか?

単振動は、変位に比例した力が働く場合の運動です。つまり
 F = -kx (k>0)    ③
と表わされるときの運動です。

お示しの問題の場合には、#1 に書いたように

B に働く力は、
・斜面下向きに重力:F1 = -mgsinθ
・斜面上向きにクーロンりょく:F2 = kq^2/x^2

これを①の関係で書き換えると
 F2 = mga^2・sinθ/x^2
であり、変位と力の関係は ③ の形になりません。
それは F1 (x によらず一定)を加えても同じです。

x= a/2 ~ 2a の間で運動するので、中間位置がつり合い位置の x=a ではありません。
つり合い位置 x=a に戻そうとする力が、x<a のときの「a - x」と a<x のときの「x - a」とでは異なるからです。対称になりません。
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X=2 と x=a の関係は?



B に働く力は、
・斜面下向きに重力:F1 = -mgsinθ
・斜面上向きにクーロンりょく:F1 = kq^2/x^2

これを使って「運動方程式」で解くか、位置エネルギーを使った「力学的エネルギー保存」で解くか。
速度や運動の詳細は議論する必要がなさそうなので、「力学的エネルギー保存」で考えるのがよさそう。
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この回答へのお礼

どうしても単振動だと思うんですが釣り合いの位置であるaが中心ではないんですか?

お礼日時:2022/08/08 13:28

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