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数学Bの数列の範囲で
自然数の2乗の和は1/6n(n+1)(2n+1)で求められるとなっていて
それの証明が
恒等式k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1でkに1からnまでを順々に代入して求めたn個の等式の両辺を加えるというものでした

たしかにこれで1/6n(n+1)(2n+1)は求められたのですが
なぜいきなり恒等式k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1が出てきたのか分かりません
なにか他に違う求め方とかあるのでしょうか?

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A 回答 (6件)

多項式を積分するとき、∫(x^m)dx = x^(m+1) / (m+1) を使って


項ごとに積分しますね。それと似たことを、Σでもやってみましょう。

x?m = x(x+1)(x+2)…(x+m-1) と定義すると、
Σ[k=1…n] k?m = { n?(m+1) } / (m+1) が成立ちます。
証明は、(n+1)?(m+1) - n?(m+1) を計算してみるだけです。
この結果は、公式として覚えておくと便利でしょう。

k^3 = k(k+1)(k+2) - 3k(k+1) + k より、直ちに
Σ[k=1…n] k^3 = (1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) - 3(1/3)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
となります。

Σ[k=1…n] k^4 や Σ[k=1…n] k^5 なども同様に求められますし、
k の任意の多項式のΣが、この方法で求められます。
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楽でも何でもない方法でよければ、ちょっと変わった切り口で。



まず、数列{n^2} の和がnの整式になると仮定して、それを f(n) と置きます。
Σ[k=1 to n] {k^2} = f(n)

すると、n≧2のとき、 n^2=f(n)-f(n-1)  …(a)
また、 f(1)=1

ここで、(a)の等式は、両辺が有限次数の整式であるので、もしこれがnの恒等式
でないなら、これを満たすnの値は有限個しかありません。
それではn≧2の任意のnについて成り立つという仮定に矛盾するので、(a)は恒等式、
つまり、nの値として、1以下の整数や整数でない任意の実数を入れても成り立つ式
であることになります。

よって、(a)にn=1を代入すると、
 1=f(1)-f(0)
∴ f(0)=0

また、(a)はnの値として自然数以外の任意の実数を代入しても成り立つことより
両辺は連続で微分可能なnの関数となるので、(a)の両辺をnで微分して
 2n=f '(n)-f '(n-1)

この等式の両辺について、1からnまでの自然数を代入したものを辺々加えると、
 Σ[k=1 to n] {2k} = Σ[k=1 to n] {f '(k)-f '(k-1)}
∴ n(n+1)=f '(n)-f '(0)

f '(0)は定数なので、これをAとおくと、
 f '(n)=n(n+1)+A

これも(a)と同様、nの恒等式であると考えられるので、両辺をnで積分して
 f(n)=∫{n(n+1)+A}dn
   =(1/3)n^3 +(1/2)n^2 +An +B  (Bは積分定数)

ここで、f(0)=0より、
   B=0
また、f(1)=1より、
  f(1)=1/3+1/2+A=1
∴  A=1/6

よって、
 f(n)=(1/3)n^3 +(1/2)n^2 +(1/6)n
   =(1/6)n(n+1)(2n+1)

逆にこれは恒等式(a)およびf(1)=1を満たすので、求める和であると言えます。

はっきり言って、全然分かりやすくないだろうと思います。
やっぱり他の方法を探す前に、まず教科書の方法を理解しようとした方がいいと
思いますよ。
教科書的な導き方で、k^3-(k-1)^3が出てくる理由が分からないということですが、
これは要するに、求める和がnの3次式になるだろうと見当をつけたうえで、まず、
第n項までの和がn^3になるような数列を考えているのです。
 Σ[k=1 to n]{a(k)}=n^3   …(b)

こうすると、n≧2のとき、
 a(n)=n^3-(n-1)^3
   =3n^2-3n+1

これはn=1のときも成り立つので、このa(n)を(b)に代入すれば、
 Σ[k=1 to n]{3k^2-3k+1}=n^3

この式が、つまり教科書に載っていた、「恒等式に1からnまでを順々に代入して
求めたn個の等式の両辺を加えたもの」にあたります。
後はこれを変形して、
 Σ[k=1 to n]{k^2}=(1/3)*{ n^3+Σ[k=1 to n]{3k-1} }
           =(1/6)n(n+1)(2n+1)

長々とすみません。参考になれば。
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b+b+b+a=(5+1)*(5+1)*5

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以下の方法はどうですか。


1^2+...+n^2は、一辺が1の正方形の面積+...+一辺がnの正方形の面積に等しい。
後者の和を求めるために、一辺1の正方形から順に、底辺をそろえて右から左へ並べる。
並べてできた図形は、右端をそろえて、縦1の長方形が積み重なったものである。
一番下の長方形の面積は1+...+nである。
下から2番目の長方形の面積は2+...+nである。
...
下からn-1番目の長方形の面積は(n-1)+nである。
よって全体の面積は(1+...+n)+(2+...+n)+...+((n-1)+n)+nである。
各項は等差数列の和の知識で計算できる。
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n^2 = [n(n-1)] + n


から右辺の和を求めるという方針もなくはない.
あるいは (3次になることを前提に) 帰納法とか.
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