数学の問題が分かりません。どなたか教えて下さい。お願いします。

X２乗＋X２乗分の１＝６のとき、X３乗－X３乗分の１の値を求めよ。またX５乗－X５乗分の１の値も求めよ。ただし０＜X＜１とする。

という問題の解答で

X３乗－X３乗分の１＝（X－X分の１）（X２乗＋１＋X２乗分の１）＝－２（６＋１）＝－１４

X５乗－X５乗分の１＝（X３乗－X３乗分の１）（X２乗＋X２乗分の１）－（X－X分の１）

とあるのですが何故（X－X分の１）が－２になるのですか？また、何故このように問題の式を分解すれば解きやすくなる事がと分かるのですか？

見にくくてすいません。どなたかお教えいただけないでしょうか？お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/08/29 21:49

X－X分の１はすぐに求まらないから2乗をしてみます。

（X－X分の１）2乗
＝X2乗－2・X・(X分の１)＋(X分の１)2乗
＝X2乗－2＋(X分の１)2乗
＝X2乗＋(X分の１)2乗－2
＝6-2
＝4
より
（X－X分の１）＝2または-2
条件０＜X＜１より
（X－X分の１）＝-2になります。

X３乗－X３乗分の１
＝(X－X分の１){(X２乗)＋X・(X分の１)＋(X２乗分の１)}
＝(X－X分の１){(X２乗)＋1＋(X２乗分の１)}
＝・・・・・・

なぜ因数分解をすると、解けそうだと分かるかというと、
最初の説明で
（X－X分の１）2乗を展開するときに出てきたように
Xと(X分の１)の積の部分が定数になることを
使えそうだと予感したからです。

(X２乗)＋(X２乗分の１)＝６の条件から
X＋(X分の１)や X－(X分の１)
や X3乗－(X3乗分の1)も求まり
これらを組み合わせて
X5乗－(X5乗分の1)も求まります。

No.3 回答者： swan0519 回答日時： 2006/08/29 20:08

x^2 + 1/x^2 = 6 の両辺から2を引くと、

x^2 - 2 + 1/x^2 = 4 となり、さらに変形すると
(x - 1/x)^2 = 4 となります。従って、
x - 1/x = ±2 となりますが、(0<x<1)ですから、(x<1/x)ですので、
x - 1/x = -2 となります。

何故このように問題の式を分解すれば解きやすくなる事が分かるのですか？
については、個人的にはそういう問題だからとしかいえません。
この問題でいえば、まずx^3 - 1/x^3を因数分解してみて、それに合うような手がかり（この問題の場合はx - 1/x）を求めることになります。

No.2 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/08/29 20:02

Hintを与えましょう。

a=x,b=1/xとおく。
因数分解
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)が成り立つ。
だからa-bを求めればよいのですが
条件より、a^2+b^2=6
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=a^2-2+b^2=6-2=4
0<x<1よりa<1<b したがってa-b<0
a-b<0 よりa-b=-2
これでa-bはもとまったわけです。
いまa-b,abがわかりました。
これらをつかってa^3-b^3がわかります。では今まで分かっている式を使ってa^5-b^5がどのような式に表せるのかを考えましょう。

No.1 回答者： karura_gq 回答日時： 2006/08/29 20:01

とりあえず前者。

X２乗＋X２乗分の１＝６の両辺に-2を加えて平方完成させましょう。

そうするとx-(1/x) = ±2

xの領域より{x-(1/x)}<0なので、-2ということがわかります。