二次の超指数分布とつかって・・・・

二次の超指数分布を使って平均ｍ＝２、分散ｖ＝９の分布を表現せよ。

アーラン分布？指数分布？をつかうと思うのですが・・・
数学によわいので数学が得意な方解説お願いします。

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2011/01/20 18:47

１　準備

超指数分布というのは、その分布密度関数が「いくつかの指数分布の分布密度関数の算術平均」となるような分布をいいます。分布密度関数をg(x)とすると、具体的には、次のようになります。

　　g(x) = p1f1(x) + p2f2(x) + ・・・ + pnfn(x)
　　ただし、p1 + p2 + ・・・ + pn = 1、p1>0、p2>0、・・・、pn>0

各fi(x)は、指数分布の密度関数です。それぞれの平均をa1、a2、…、an（a1>0、a2>0、・・・、an>0）とすると、

　　fi(x) = (1/ai)e^(-x/ai) （i = 1,2,...,n）

です。

g(x)の平均mと分散vは、次のようになります。

　　m = p1a1 + p2a2 + ・・・ + pnan
　　v = 2p1a1^2 + 2p2a2^2 + ・・・ + 2pnan^2 - m^2

２　ご質問への回答

「二次の超指数分布」というのは、多分、上の式でn = 2 ということなのでしょう。そこで、p1 = p、p2 = 1 - p、a1 = a、a2 = bと書けば、

　　g(x) = p(1/a)e^(-x/a) + (1-p)(1/b)e^(-x/b)
　　m = pa + (1-p)b
　　v = 2pa^2 + 2(1-p)b^2 - m^2

となります。あとは、m=2、v=9の条件を満たすようにp、a、bを定めてやればよいことになります。この条件を満たすためには、

　　pa + (1-p)b = 2
　　2pa^2 + 2(1-p)b^2 - 4= 9

となることが必要十分です。これをaとbの連立方程式とみて解くと、

　　a = 2 + (5(1-p)/(2p))^0.5
　　b = 2 - (5p/(2(1-p)))^0.5

または

　　a = 2 - (5(1-p)/(2p))^0.5
　　b = 2 + (5p/(2(1-p)))^0.5

となります。a>0、b>0ですから、上の「または」は、pの大きさによって、片方だけが解になるときも両方が解になるときもあります。

例えば、次のような解があります。

　　p = 0.5
　　a = 2 + 2.5^0.5 ≒ 3.581139
　　b = 2 - 0.5^0.5 ≒ 0.418861