マンガでよめる痔のこと・薬のこと

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

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A 回答 (5件)

表記の仕方ですか?


dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
#2の方の回答でなんとなくわかり
こちらの回答

>dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2

で解決しました。
そうです、こういう説明がテキストとかにはない!
微分の説明までは例え話なんかでお子様にもわかるように砕いて砕いて
何ページもかけて説明してあるのですが、必ず二階微分へは解説なしに一気に入ります。
たぶんそれは頭のいい人が執筆するからでついてこれてると思っているのでしょうね。
凡人がなぜ理解できないのかがわからないんだと思います。

お礼日時:2011/02/12 00:38

 もう答えは出てると思いますので、これは回答ではありませんが、#1さんへのお礼を見て気になったので、書きます。



 #1さんの応えは、質問の意に沿ったものではないと、自分が見ても思えますが、#1さんも#2さんも、結局は同じ事を言ってると、わかった後では何となく思いませんか?。#1さんは本当に、回答のような説明を見て、納得したのかも知れません。納得の仕方は、人それぞれです。なので、

>頭が良すぎて凡人のことがわからないのか?
>それとも凡人にもわかるような頭を持ち合わせていないのか?
>たぶん私が凡人以下なのでしょう(笑)

は違うと思います。あるとすれば、#2さんのような考えを、生まれつき即座に出来るかどうかの違いで、これは頭の良し悪しとは、全然関係ないと思います。得意か不得意かの違いです。

 応答が自分の意にそぐわないようなものであれば、「そういう事を聞きたいのじゃない」「こういう事を聞きたいのだ」と、補足に書けば良いだけの話です。

 自分も数学や物理に関しては、即座に出来ない方なので、あのようなお礼を書きたくなる気持ちもわかりますが、公共の掲示板である限り、回答者の真意は本当はわからない訳で、回答には誠実に対応すべきだと思います。

 なので、#4さんの回答も吟味してみて下さい。吟味できるのは、あなただけです。


 最後に自分の意見を言うと(今までも言ってますね)、数学全般の癖として、極端に言葉を切り詰める傾向があります。「ここまで読んだ人なら、言わなくてもわかるだろう」というわけです。自分も、「この記述はあんまりじゃないか?」と思える事態は、数え切れないほどおぼえています。そこで最近は、「数学的記述は、じつは常識的に判断した方が良いのだ」と思うようになりました。それが、#2さんのような発想に、つながると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
解決してほったらかしでした。

>回答には誠実に対応すべきだと思います。

すみません,仰るとおりです。
頭のいい人から馬鹿にされたような気分になってつい・・・

お礼日時:2011/02/17 22:02

こんにちは。



ある物体が一定ではない速度で進んでいるとします。何階と何階で止まるか予想できないエレベーターに乗ったときのような感じです。

物体の位置(物体が進んだ距離)をx
時刻(スタートからの時間)をt
と置きます。

xをtで1回微分すると、速度(v)になります。
v = dx/dt
横軸をt、縦軸をx としてグラフを描くと、そのグラフにおける tanθ は v を意味します。

vをtで1回微分(xをtで2回微分)すると、加速度(a)になります。
a = dv/dt = d(dx/dt)/dt
しかし、d(dx/dt)/dt という表記をする習慣がないので、
a = d^2 x/dt^2
と書きます。
横軸をt、縦軸をv としてグラフを描くと、そのグラフにおける tanθ は a を意味します。

1回微分を dx/dt と書くなら、2階微分を (dx/dt)^2 と書きゃあいいじゃねえか、と言いたくなりますが、
dx/dt = v
(dx/dt)^2 = v^2
なので、
a = v^2
という、変な物理法則が誕生してしまいます。

微分を最初習うときって、y’というふうに、ダッシュ記号で表すじゃないですか。
二階微分だったら、y’’です。
大学の力学では、文字の上に点(・)を1回打てば、時刻で1回微分したことを表す、という約束を習います。
ですけど、一般的に、ダッシュや点だけだと、「何で微分したのか」がわかりません。
ですから、d^2 x/dt^2 と書けば、x という主人公を t で2回微分したのだな、ということが明確になります。
それがメリットです。

実は、もう一つ、d^2 x/dt^2 と書くことの大きなメリットがあります。
それは、これです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97% …
「d」ではなく「∂」という記号(偏微分を表す)が用いられていますが、それは気にしないでください。
式を見ると、二階微分の記号(たとえば ∂^2/∂x^2)が、二階微分されるものの記号と分離して‘一人歩き’しているように見えますよね。
そして、∇記号の2乗とか、Δ記号とかが書かれていますが、それは、微分される主役をさておいて、∂^2/∂x^2 などの記号だけを‘無礼’にもまとめて略して記号化したものです。
そういう‘一人歩き’の記号を使うと、物理法則などの式が見やすく、すっきりします。
たぶん、それが、d^2 x/dt^2 とか d^2/dt^2 という書き方をする大きな理由なのでしょう(と私は大学で学んでから初めて思いました)。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

解決してほったらかしになってしまいました。

>d^2 x/dt^2 と書けば、x という主人公を t で2回微分したのだな、ということが明確になります。

なるほど、納得です。

お礼日時:2011/02/17 21:58

>傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2




d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx

はわかりますか。

dy/dx(傾き)をxでさらに微分しているだけのことです。
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この回答へのお礼

理解できました。
ズバリです。

お礼日時:2011/02/12 00:28

定義としてd^2y/dx^2というのは


∃δ>0に関して、|h|<δならば
dy(x+h)/dx-dy(x)/dx=Ah+O(|h|)
となるAの値である。
ただしO(|h|)は lim(h→0)O(|h|)/h=0となるように満たされる。
x近傍においては
A≒ (dy(x+h)/dx-dy(x)/dx)/h と近似できて、これは傾きの変化率にしかすぎない。
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この回答へのお礼

どうも

いろんな質問みてると素人質問には必ずこのような回答が入りますよね。。
なぜなのでしょう?
頭が良すぎて凡人のことがわからないのか?
それとも凡人にもわかるような頭を持ち合わせていないのか?
たぶん私が凡人以下なのでしょう(笑)

お礼日時:2011/02/12 00:26

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

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こんにちは。微分方程式で分からない問題があります。

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Aベストアンサー

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(dy/dx)^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1
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y=(dy/dx)x+4(dy/dx)^2
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Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
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なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
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こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
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という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

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分子に(dx)^2 がありますが、
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よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
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なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
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以上、ご参考になりましたら幸いです。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
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正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

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Q微分記号(dy/dx)について質問です。

微分記号(dy/dx)について質問です。

例えば、

dy/dx=x

という微分方程式を考えます。

両辺をxで積分すると、

∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1)

となって

∫dy=∫x dx ・・・(2)

y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。

ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか?

dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

∫(dy/dx)dx = ∫dy
は、(右辺→左辺と見れば)置換積分の公式そのものです。


>あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?
ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。
とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
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回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
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教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
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Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
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ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
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logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む


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