教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

同じ平面上にない4点O,A,B,Cに対して,次の等式を満たす点Pは,どのような平面上にあるか。ただし,r,s,tは実数とする。

↑OP
=↑rOA+↑sOB+↑tOC,r+s+t=1


何から求めればいいのか
困ってます。

誰かわかる方は教えていただけると嬉しいです。

gooドクター

A 回答 (4件)

「↑rOA+↑sOB+↑tOC」は「r↑OA+s↑OB+t↑OC」ですよね。



求める、というより、

↑OP = r↑OA+s↑OB+t↑OC で、r,s,t に条件がついてなければ、Pは空間内のあらゆる点を表すことができ、
r + s + t = 1 ならば、PはΔABCを含む平面上のすべての点を表すことができ、
さらに、r,s,t が0以上1以下という条件を加えると、Pは、ΔABC(内部と周)上のすべての点を表すことができる。

というのは、全部ではなく、この形でまとまってでないかもしれませんが、教科書のどこか(本文だけでなく、例題の解法や練習問題にも注目)に書いてありませんでしたか?

平面上で、同じ直線上にない3点O,A,B,Cに対して、
↑OP = r↑OA+s↑OB を満たす点Pは、平面全体を、r+s = 1という条件がつけば、直線AB上を、さらに、r,sが0以上1以下ならば、線分AB上を動くことができる、
というのに、対応した空間ベクトルの性質で、こうやって並べれば、理解するのも、覚えるのも、難しくはないと思います。

空間ベクトルの問題で悩んだら、平面で似た話なかったっけ、と、考えるのが、コツです。
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この回答へのお礼

なるほど…

ありがとうございます。

お礼日時:2011/02/20 19:52

> 何から求めればいいのか



その式を、
↑OP = ↑OA + s(↑OB - ↑OA) + t(↑OC - ↑OA)
と変形するところから始めればよいと思います。

r を消去する替わりに、s か t を消去してもかまいません。

変形した式の2変数の値をイロイロ動かしてみると、
何が解りますか?
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> 何から求めればいいのか


> 困ってます。

求める問題というよりは、知識を問われている問題だと思います。
この話自体は教科書にも載っているはずです。
↑rOA+↑sOB+↑tOC,r + s + t = 1を満たすのは「三点A, B, Cを通る平面」です。

「三点A, B, Cを通る平面を、ベクトルOA, OB, OCを用いて表すとどうなるか?」
という事を考えていくと、最終的に
「三点A, B, Cを通る平面は↑rOA+↑sOB+↑tOC,r + s + t = 1で表わされる」
という結論が得られます。

でも逆に
「↑rOA+↑sOB+↑tOC,r + s + t = 1という式が何を表しているか?」
という事を考えて
「↑rOA+↑sOB+↑tOC,r + s + t = 1は三点A, B, Cを通る平面を表す」
という結論を得るのは難しいと思います。

なので今回の問題に関しては
「三点A, B, Cを通る平面は↑rOA+↑sOB+↑tOC,r + s + t = 1で表わされる」
という事を知らないと答えられない問題だと思います。
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この回答へのお礼

なるほど…

ありがとうございます。

お礼日時:2011/02/20 19:54

こんばんわ。


ある程度、予想がつかないと難しいのかもしれませんね。

条件式は、点Oを基準として与えられていますね。
そこをたとえば点Aを基準としてみたら・・・と考えたりしてみます。

あと、平面上の点は「その平面上にある」1次独立な 2つのベクトルによって定められます。
このことを点Aを基準にして表してみることを考えます。

ちなみに、平面は 3点が与えられれば定めることができますね。
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この回答へのお礼

こんばんは。

なるほど…
ありがとうございます。

お礼日時:2011/02/20 19:51

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