数II積分、定積分と面積について(初歩的な質問)

定積分
２曲線間の面積を求める問題で２つの式から求めますが、どちらの式からどちらの式をひくのか どうやって判断するのですか？



また、極値を求める問題でf′(x)が０になるときのf(x)が(-4a+b)となったのですが、それが最大値か最小値なのかは、abの値によって変化するので判断できませんよね？




質問文がわかりにくかったらすみませんm(_ _)mよろしくお願いします

No.5 ベストアンサー 回答者： eternal91 回答日時： 2011/03/07 10:27

面積に関してだけ…

かなり邪道だと思いますが、適当に引いて、答えがマイナスにならない方が答えです。－20m2とか、面積にマイナスはないので。
高校のとき、数学が苦手なクラスの私たちに先生が教えてくれた必殺技です。

No.6 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/03/07 13:17

追記です．

ANo.3に

> 極大とか極小というのは，周りとの兼ね合いによって決まるのです．

と書きましたが，その「周りとの兼ね合い」を調べるために増減表を書きます．

No.4 回答者： lusa 回答日時： 2011/03/07 01:14

♯2の者です。

すみません。
他の人の回答を見させてもらい、間違った解釈をしていることに気付きました。

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/03/07 00:58

> ２曲線間の面積を求める問題で２つの式から求めますが、どちらの式からどちらの式をひくのか どうやって判断するのですか？

例えば y = f(x) という曲線と y = g(x) という曲線に挟まれている部分の面積を求めるのであれば「値が大きいほうから値が小さいほうを引き算したものを定積分」です．

どちらが大きいのかはいちいち調べなければなりません．

例えば添付した図のような状況で「a,b間において y = f(x) と y = g(x) との間に挟まれた部分の面積を求めよ」といわれたら，2つの曲線のa,b間における交点のx座標をすべて調べ(この場合はcのみ)，a,c間ではf(x)のほうが大きいので f(x) - g(x) を積分し，c,b間ではg(x)のほうが大きいので g(x) - f(x) を積分します．

絶対値記号を用いると，

(求める面積)
= ∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx
= ∫[a,c] {f(x) - g(x)} dx + ∫[c.b] {g(x) - f(x)} dx.

> また、極値を求める問題でf′(x)が０になるときのf(x)が(-4a+b)となったのですが、それが最大値か最小値なのかは、abの値によって変化するので判断できませんよね？

「a,bの値によって極大値なのか極小値なのかが変わる」のではなくて，「f(x) = -4a + b となる x の周りにおける関数fの値が -4a + b より大きいのか(この場合，極小)，小さいのか(この場合，極大)，あるいは大きくも小さくもなるのか(この場合，極値ではない)」によって決まります．

極大とか極小というのは，周りとの兼ね合いによって決まるのです．

No.2 回答者： lusa 回答日時： 2011/03/07 00:45

（１）積分範囲内で、値の大きいものから値の小さいものを引きます。

例えばf(x)=x,g(x)=x^2とするとき、
直線x=0とx=2、y=xとy=-xに挟まれた部分の面積Sを求めるとすると
0≦x≦1⇒f(x)≧g(x)
1≦x≦2⇒f(x)≦g(x)
より
S=∫(x：0～1)(f(x)-g(x))dx＋∫(x：1～2)(g(x)-f(x))dx
=1
となります。

（２）質問文を読む限りf(x)-4a+bということになりますがそうですか？
もう一度確認お願いします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/07 00:28

こんばんわ。

＞２曲線間の面積を求める問題で２つの式から求めますが、
＞どちらの式からどちらの式をひくのか どうやって判断するのですか？
グラフで上にある式から下にある式を引きます。
式で表すと、y＝ f(x)と y＝ g(x)の 2つの曲線があって、
a≦ x≦ bにおいて f(x)≦ g(x)であれば、面積は
S＝∫[a,b] { g(x)- f(x) } dx

として求めます。

グラフの上下がはっきりしないようなときは、
絶対値の記号を入れておいて計算結果がマイナスになったら
符号を入れ替えるという方法もありますね。


＞また、極値を求める問題でf′(x)が０になるときのf(x)が(-4a+b)となったのですが、
＞それが最大値か最小値なのかは、abの値によって変化するので判断できませんよね？
f(x)の値ではなく、f '(x)の符号の変化によって決まりますね。