No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(1)はy = Arcsin(x/2) という解釈でいいんですよね?
y = (Arcsin x)/2 ではないですよね?
(1) x = 1のときy = Arcsin(1/2) = π/6.
y = Arcsin(x/2)より
x = 2sin y
dx/dy = 2cos y
∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= 1/(2cos y) = 1/(2cos(π/6)) = 1/√3 = (√3)/3.
(2) x = -1のときy = (Arctan(-1))^2 = (-π/4)^2 = (π/4)^2.
y = (Arctan x)^2より
Arctan x = ±√y.
この問題では x = -1 (< 0)の場合を考えており,
Arctan x = -√y.
x = tan(-√y) = -tan √y
dx/dy = -(1/cos^2 √y) 1/(2√y)
∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= -(2√y)cos^2 √y
= -2・(π/4)・cos^2(π/4)
= -2・(π/4)・1/2
= -π/4.
※ついうっかり符号の処理を誤ってしまいそう.
[別解]
(Arcsin x)' = 1/√(1 - x^2),
(Arctan x)' = 1/(x^2 + 1)
を用いると,
(1)
dy/dx = 1/{2√(1 - (x/2)^2)} = 1/√(4 - x^2)
= 1/√3 = (√3)/3.
(2)
dy/dx = (2 Arctan x)/(x^2 + 1)
= (2 Arctan(-1))/2
= -π/4.
※符号の処理をしなくていいから,こっちのほうが間違いは少ないかも...
No.2
- 回答日時:
逆三角関数はそのままでは微分できませんので、xとyを逆にした陰関数表示をしてみましょう。
(1)の、
y=arcsin(x/2)
は、陰関数表示で
x=sin(y/2)
となります。両辺をyで微分すると、
dx/dy=(1/2)cos(y/2)
となりますから、x=1におけるyの主値π/6を上式に代入すれば、その逆数が微係数になります。
cosπ/6=√3/2であることから、半角の公式(cos^2y=(1+cos2y)/2)よりcos^2(π/12)=(2+√3)/4となり、
dy/dx(y=π/12)=√(2+√3)
となりました。
同様に、(2)も陰関数で表して、
x=tan^2y
両辺をyで微分して、
dx/dy=2tanysec^2y
であり、x=-1における主値y=3π/4を上式に代入して逆数を取り、
dy/dx(y=3π/4)=(-1/√2)^2/(-2)=-1/4
となりました。どうでしょうか?
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