どうして以下のようになるのか分かりません。
関数y=f(x)のグラフのx軸に垂直でない漸近線ついて
limx→∞{f(x)ー(ax+b)}=0またはlimx→ー∞{f(x)ー(ax+b)}=0ならば、直線y=ax+bは漸近線である。
以上よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

こんにちは。



limx→∞{f(x)ー(ax+b)}=0
という式は、
「xが∞に近づくほど、f(x)-(ax+b) はゼロに近づく」
という意味です。

もっとわかりやすく書けば、
「グラフの右側に行けば行くほど、f(x)と(ax+b)との差が小さくなる」
(グラフの右側に行けば行くほど、f(x)は(ax+b)とほぼ同じになっていく)
という意味です。

一例を挙げると、
f(x) = (2x+1)(x+1)/x = (2x+1)(1 + 1/x)
の場合、x⇒∞ のf(x)の極限は、2x+1 になりますよね。
1/x がゼロに近づくからです。

これをご質問文の式に当てはめると、
lim[x⇒∞]{f(x)-(2x+1)}
 = lim[x⇒∞]{(2x+1)(1 + 1/x)-(2x+1)}
 = (2x+1)-(2x+1)
 = 0
ということで、y=2x+1 は漸近線となります。
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この回答へのお礼

丁寧で分かりやすい回答ありがとうございます
>「グラフの右側に行けば行くほどf(x)と(ax+b)の差が小さくなる」
なるほど言われてみればそうですね
どうしても難しく考えてしまいそのような考え方に至りませんでした

お礼日時:2011/04/09 06:47

それが漸近線の定義です。

以下のサイトの一行目を参考にしてください。

http://www.cfv21.com/math/asymptline.htm
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この回答へのお礼

参考にさせて頂きます
ありがとうございます

お礼日時:2011/04/09 06:49

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その後極限limなどを用いて漸近線を導き出すほうほうが
さっぱりわかりません。
どなたか教えてください!

あと、一般的な漸近線の求め方や定義なども一緒に教えて
いただけると助かります!

Aベストアンサー

漸近線の一般的な求め方は次の通りです。
(1) x軸に垂直な漸近線の場合
lim f(x) (x→a+0の時)、lim f(x) (x→a-0の時)の内、少なくとも1つが+∞または-∞になれば、直線x=aが漸近線である。
(2) x軸に垂直でない漸近線の場合
lim |f(x)-(ax+b)|=0 (x→+∞の時)ならば、直線y=ax+bが漸近線。lim|f(x)-(ax+b)|=0(x→-∞の時)についても同様である。

ここから与式について具体的に説明します。y=x^2/(x-2)=(x+2)+4/(x-2)と変形できるので、(1)について考えると、x→2の時、第1項の(x+2)は有限の数4となり、第2項の分母は0に近づくので第2項自体(4/(x-2))は+∞または-∞になります(それぞれxを右から2に近づけた場合と、左から2に近づけた場合)。よって、式全体(第1項と第2項を合わせたもの)は+∞または-∞になります。よって、x=2が漸近線であることが分かります。次に(2)について考えてみます。求める漸近線をy=ax+bと置きます(漸近線なので一次式で表してよい)。与式y=x^2/(x-2)をf(x)と置き、先に示した(2)の求め方を考えてみると、f(x)-(ax+b)=x^2/(x-2)-(ax+b)={x^2-(ax+b)(x-2)}/(x-2)={(1-a)x^2+(2a-b)x+2b}/(x-2)と変形できるので、x→+∞の時、|{(1-a)x^2+(2a-b)x+2b}/(x-2)|が0になるためには、1-a=0、2a-b=0が成立たなければなりません。この理由について説明します。絶対値の中の第1項と第2項を変形してみると、それぞれ(1-a)x^2/(x-2)=(1-a)(x^2-4+4)/(x-2)=(1-a){(x+2)(x-2)+4}/(x-2)=(1-a){x+2+4/(x-2)}-----(1)、(2a-b)x/(x-2)=(2a-b)(x-2+2)/(x-2)=(2a-b){1+2/(x-2)}-----(2)となるので、もし1-a=0と2a-b=0が成立たなければ、x→+∞の時に(1)は+∞または-∞(aの値に依存する)、(2)は2a-bという有限の何らかの値になります。このため、(2)の漸近線の条件を満たさなくなります。よって、y=ax+bが漸近線だと仮定すると、1-a=0かつ2a-b=0を満たさなければなりません。これを解くとa=1、b=2が得られるので、求める漸近線はy=x+2となることが分かります。x→-∞についても全く同様にして、a=1、b=2が求まります。結局、(1)と(2)より、与式の漸近線はx=2(x軸に垂直な漸近線)、y=x+2(x軸に垂直でない漸近線でx=+∞、x=-∞に対するもの)の2本となります。

漸近線の一般的な求め方は次の通りです。
(1) x軸に垂直な漸近線の場合
lim f(x) (x→a+0の時)、lim f(x) (x→a-0の時)の内、少なくとも1つが+∞または-∞になれば、直線x=aが漸近線である。
(2) x軸に垂直でない漸近線の場合
lim |f(x)-(ax+b)|=0 (x→+∞の時)ならば、直線y=ax+bが漸近線。lim|f(x)-(ax+b)|=0(x→-∞の時)についても同様である。

ここから与式について具体的に説明します。y=x^2/(x-2)=(x+2)+4/(x-2)と変形できるので、(1)について考えると、x→2の時、第1項の(x+2)は有限...続きを読む

Q何でこのときに判別式が使えるのか?

次の問題で、何でこのときに判別式が使えるのか?というのがまったくわかりません。

y=e^{-x^2}(富士山のような外形が書いてあります。)において、A(a,0)から2本の接線が引けるようなaの値の範囲を求めよ。という問題です。接点を適当にtなどであらわし、微分して、最終的に接線の方程式をtとxとyであらわし、そこにA(a,0)を代入します。ここまではわかります。

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どなたか教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>(1)2次関数などとはまったく違う関数で、直線との共有点は3つになりえる
まだ使っていない条件:接線が2本引けること、つまり、異なる接点のX座標tが2つ存在する。tについての2次方程式が出てくることが示唆されている。
実際
(2t^2-2at+1)e^(-t^2)=0
e^(-t^2)>0だから
2t^2-2at+1=0
接線が2本引ける→異なるtの2根が存在する→判別式>0

>(2)後は漠然と何でつかえるのかということですが、これはあえて言えば「なぜy,xであらわされていなく、
しかもそこに自分でおいたtの値やaを代入したものなのに、判別式が使えるのか」ということです。tはなんかの関数だからでしょうか。まったくわかりません。
判別式を使う方程式の変数は、xとは限りません。
これから多くの問題をこなしていくと、変数がa,k,t,p,qなどの存在条件として、それらの変数の2次方程式がどれだけでも出てきますよ。
実数kが存在する条件、2交点で交わる条件、2円に接する接線条件などすべてパラメータの2次方程式になった場合はすべて判別式を使います。
頭を柔軟に切り替えていかないと、多くの問題が解けませんよ。

逆に質問すれば
2次方程式の変数がなぜxやyでなくてはいけないですか?
最初に学ぶ時、理解しやすいように未知数と分かり易いxやyを変数にした
2次方程式やグラフを使って教えられただけです。
文字を使って式を取り扱うということは、その文字がxやyでなくても
変数になりうるということを絶えず頭の中にいれておくことが必要です。

接線が2本存在する条件から
D/4=(a^2)-2>0
|a|>√2
が出てきます。

>(1)2次関数などとはまったく違う関数で、直線との共有点は3つになりえる
まだ使っていない条件:接線が2本引けること、つまり、異なる接点のX座標tが2つ存在する。tについての2次方程式が出てくることが示唆されている。
実際
(2t^2-2at+1)e^(-t^2)=0
e^(-t^2)>0だから
2t^2-2at+1=0
接線が2本引ける→異なるtの2根が存在する→判別式>0

>(2)後は漠然と何でつかえるのかということですが、これはあえて言えば「なぜy,xであらわされていなく、
しかもそこに自分でおいたtの値やaを代入したものなのに...続きを読む


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