どうして以下のようになるのか分かりません。
関数y=f(x)のグラフのx軸に垂直でない漸近線ついて
limx→∞{f(x)ー(ax+b)}=0またはlimx→ー∞{f(x)ー(ax+b)}=0ならば、直線y=ax+bは漸近線である。
以上よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

こんにちは。



limx→∞{f(x)ー(ax+b)}=0
という式は、
「xが∞に近づくほど、f(x)-(ax+b) はゼロに近づく」
という意味です。

もっとわかりやすく書けば、
「グラフの右側に行けば行くほど、f(x)と(ax+b)との差が小さくなる」
(グラフの右側に行けば行くほど、f(x)は(ax+b)とほぼ同じになっていく)
という意味です。

一例を挙げると、
f(x) = (2x+1)(x+1)/x = (2x+1)(1 + 1/x)
の場合、x⇒∞ のf(x)の極限は、2x+1 になりますよね。
1/x がゼロに近づくからです。

これをご質問文の式に当てはめると、
lim[x⇒∞]{f(x)-(2x+1)}
 = lim[x⇒∞]{(2x+1)(1 + 1/x)-(2x+1)}
 = (2x+1)-(2x+1)
 = 0
ということで、y=2x+1 は漸近線となります。
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この回答へのお礼

丁寧で分かりやすい回答ありがとうございます
>「グラフの右側に行けば行くほどf(x)と(ax+b)の差が小さくなる」
なるほど言われてみればそうですね
どうしても難しく考えてしまいそのような考え方に至りませんでした

お礼日時:2011/04/09 06:47

それが漸近線の定義です。

以下のサイトの一行目を参考にしてください。

http://www.cfv21.com/math/asymptline.htm
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この回答へのお礼

参考にさせて頂きます
ありがとうございます

お礼日時:2011/04/09 06:49

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Q漸近線を求めるときの場合分け

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問です。問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題
で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。

勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

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です。

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Aベストアンサー

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。
具体的にどのような解答なのか分かりませんが、多分、問題ありません。

ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x (★をxで割ってx→∞としたもの)
としてaを求めます。このaを元に
b=lim[x→∞](f(x)-ax)
としてbを求めます。(もちろん、これらが収束する保証はありませんが、収束しないのなら、漸近線を持たないという事です)


>また、問題
>で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。
y軸に平行な漸近線というのは、y=1/xにおけるy軸とか、y=tanxにおける、直線x=π/2のような奴です。
要するにf(x)がx→α(有限の値)で発散するような奴です。ほぼ100%、分母が0になるような奴です。
>y=2x+(x^2-1)^(1/2)
は、途中で発散することがないので(いたるところで連続ですから)、y軸に平行な漸近線を持ちません


>ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。

「南京玉すだれ」って分かりますか?
http://www.eonet.ne.jp/~tosimaru/
↑こんなのです。これの竹串(?)って、何か竹串に平行な方向にずれますよね。
※各竹串は、普通全部同じ長さですが、それぞれ長さが違うとしましょう(y=f(x)の形)

この竹串が垂直になるように、水平な面に置くと、すだれの上端はy=f(x)という形状になっているはずです。

でも、坂道に置くと(各竹串の下端を地面につける)、すだれの上端はy=f(x)という形にはなってませんよね。
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っていう感じの形になっているのがイメージできませんかね?

これと同じように、
y=2xという「坂道」の上に、√(x^2-1)という形の「すだれ」を置いている、というイメージで
y=2x+√(x^2-1)というグラフの形状をイメージしてみよう、
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QF(x+Vt)=-F(-x+Vt)ってx軸,y軸にそれぞれ対称になりますか?解説もしていただけるとあ

F(x+Vt)=-F(-x+Vt)ってx軸,y軸にそれぞれ対称になりますか?解説もしていただけるとありがたいです。

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y軸って、
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ご質問は、「独立変数 x, t の関数 F(x, t)」を考えて、
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となるとき、
 y = F(x, t)
のグラフは x軸、y軸に対して対称となるか? ということと解釈します。

(1)から、F(x, t) は「奇関数」ということですから、 x軸、y軸に対して対称となりません。「原点」に関して対称となります。

 F(x, t) = F(-x, t)   (2)
なら
  y = F(x, t)
は「遇関数」で、y 軸に関して対象となります。

x軸に関して対称となるには、
 y = ±F(x, t)     (3)
となる必要があります。

おのおの、具体的な (a, b), (-a, b), (a, -b), (-a, -b) を計算してみるとよいです。

Q漸近線の求めかた??

y=x+1+1/(x-1)のグラフを描く問題なんですが、増減表(添付図)を書いた後教科書では次のように漸近線を求めています。

lim[x]→1+0]y=∞, lim[x→1-0]y= ー∞であるからx=1はこの曲線の漸近線である。
さらに
lim[x→∞]{y-(x+1)}=0
lim[x→-∞]{y-(x+1)}=0
だからy=x+1もこの曲線の漸近線である。

[質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?
 
[質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように
リミットの中の式をlim[x→∞]{y-(x+1)}=0 という形にしているのでしょうか?
(これで確かにy=x+1は漸近線ということがわかりますけど・・)

漸近線を求める上での考え方がよくわかりません。意味不明な箇所があるかもしれませんが、教えてください。

Aベストアンサー

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特に、右辺のそれぞれの項がどうなるかを考えると良いです。

x がどんどん大きくなると、x + 1 + 1/(x-1)の中の3つの項のうち、
1/(x - 1)だけは0に収束して消えていってしまいませんか?
そうなると残るのはxと+1の項だけになります。
なのでy = x + 1 + 1/(x-1)は、xがどんどん大きくなると
y = x + 1に近づくと考える事ができます。

y = (2x^2 + 5) / (x + 2)のような形の関数だと、
そのままではこのような考え方ができません。
この場合は割り算をして
y = 2x - 4 + (13/(x + 2))と変形してやると、
同じように考える事ができます。

他にも例えば、y = 2x + 3 + 2^xはx → -∞の時、
y = 2x + 3に漸近します(x → +∞では漸近しません)。
後は「漸近放物線」みたいのも考えられます。
例えばy = x^2 + 2x + (1/x)は、x → +∞とx → -∞の時、
放物線y = x^2 + 2xに漸近します。

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特...続きを読む

Q数学1の関数の質問です!y=x^2のグラフをy軸方向に1だけ平行移動した場合なぜy=x^2+1に

数学1の関数の質問です!

y=x^2のグラフをy軸方向に1だけ平行移動した場合なぜy=x^2+1になるのか?
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それら2つの疑問に関して解説して頂けませんでしょうか?

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それでは宜しくお願い致します!

Aベストアンサー

式で書いても難しそうだから、絵で説明する。
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3の時は3^3=9・・・となるから、そういう(x,y)の点を書いて滑らかに繋いだもの、と言う意味。

(1)y=x^2のグラフをy軸方向に1だけ平行移動した場合
下の図の上半分。
右が、左のグラフをy軸方向に1だけすらした(平行移動した)図
右の赤線は青線に2足した長さ。
青線は左の図からx^2だから、足すとx^2+2。


(2)y=x^2のグラフをx軸方向に2だけ平行移動
下の図の下半分
グラフをx方向に2ずらすと、右側になる。
でも良~く見ると、左側の座標の方を左へ2個動かしても同じになる。
だから、左の座標xをいつも2個左へ動かせば右になる。
左はx^2なんだから、xからいつも2を引いて、(x-2)^2。

Q数IIIグラフ・漸近線に関する質問です。

いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。

例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、
f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。

そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。

解いていた問題の中で、

y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。
理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。
でも、(確実に私の経験不足ですが)いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。

数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。

お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

漸近線の定義に1次関数に限るとは決して書いていません。いかに高校数学といえどもそんなに理不尽ではありません。教科書をよく見なおしてください。

>y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。

その通りです。似たような話がurlに出ています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%B8%E8%BF%91%E7%B7%9A

Q曲線y=f(x)上にあるA(x,y)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分され

曲線y=f(x)上にあるA(x,y)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ、という問題について

上記の問題で解き方が腑に落ちず困っています。理解された方、教えていただきたいのですが、

回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
y=y−xy'
となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。
Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

この①②のことを解説の式は言っていますよ。

Q斜めの漸近線について

方程式のグラフを書くときに、分子の多項式の次数が、分母の多項式の次数よりも大きい時のみ、斜めの漸近線を考えれば良いと思っていたのですが、ある問題の解答を見ると、x + arctan(x)のグラフの時も、斜めの漸近線を求めて、それをグラフに書いています。

どのようなときに斜めの漸近線を考えるべきなのでしょうか?

Aベストアンサー

どんなときに書くべきか決まってはいないでしょうが。

x + arctan(x)
の漸近線は、arctan(x)の形を思い浮かべればすぐにわかるわけで、書き加えるのはたいした手間ではない。

一番丁寧には、漸近線が存在するか調べて、存在するなら書けばよいのでは。
f(x) - (ax + b) が、x→∞で、0に近づくような実数a,bが存在するかを調べればよい。

Q曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応

曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応する点における接平面の式として正しいものを、次の[1]~[4]の中から一つ選べ。
[1]z = 2x - 3y + 1
[2]z = 2x + 3y + 3
[3]z = 2x + 3y + 1
[4]z = 2x + 3y

…という問題だとしたら、答えはなんでしょうか?(実は問題に少し意図的な仕掛けがしてあります)

自分で途中までやってみますと
f(1,-1)
= 1^2 +(-1)^3
= 1 - 1
= 0

f_x = 2x
f_y = 3y

f_x(1,-1) = 2
f_y(1,-1) = -3

ここまでは合っていますよね?
接平面の方程式は
z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
ですよね?
では、お願いします。

Aベストアンサー

>ここまでは合っていますよね?
間違っています。

誤:f_y=3y
正:f_y=3y^2

誤:f_y(1,-1) = -3
正:f_y(1,-1) = 3

>接平面の方程式は
>z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
>ですよね?
この公式は合っています。

正しい答えは
>[3]z = 2x + 3y + 1
です。

Q漸近線について

 曲線において、その上の一点が原点から無限に遠ざかっていくとき、その点からの距離が限りなく 0 に近づくような直線。例えば y=1/x の漸近線は x 軸( y=0)と y 軸( x=0)。

 漸近線を辞書で調べるとこのように書いてあるのですが、いまいち意味がわかりません。
 漸近線とは具体的にどんなものを指すのでしょうか?

Aベストアンサー

 
「漸近線(ぜんきんせん)」という言葉の意味が分かりにくいのだと思います。「漸(ぜん)」という漢字は、緩和辞典を引くと分かりますが、「漸く(ようやく)」という意味と、「段段と」という意味があります。

漢字熟語としては、「漸次」とか「漸増」などがあります。「漸次」とは「段段次へ」というような感じで、「段段と」という意味で、「漸増」とは「段段増えて行く」という意味です。

「漸近線」というのは「段段と近づいて行く直線」というような意味です。最初は曲線なののですが、xの値が段段大きくなると、それにともなって、直線に近づいて行く曲線の場合、この近づいて行く「直線」を、この曲線の「漸近線」というのです。

例えば、y=2^x という関数のグラフを考えると、x=0の時、y=1で、xが大きくなると、yは急速に大きくなって行きます。他方、x<0の場合は、y=2^x は、y=1/2^(|x|) となります。この曲線は、次のような形をしています:

                       Y
                       |    ** 
                       |   ** 
                       |   * 
                       |  **  
                       |  * 
                       | **  
                      1+*
                      *|
                     ** |
                 ******  |
            ******       |
      ********           |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――X
                       |
                       |
                       |

xがどんどん小さくなって行くにつれ、y=1/2^(|x|) のyの値は、だんだんと0に近づいて行くのであり、xがマイナスの側で、この曲線は、X軸にだんだん近づいて行きます。

y=2^x という式が決める曲線は、xがマイナスの領域で、X軸に近づいて行くのであり、この曲線は、X軸(y=0)を、「漸近線」として持つのです。

y=1/x の場合だと、x>0の場合、xが限りなく大きくなるにつれ、yの値は段段0に近づいて行き、X軸に近くなって行くので、X軸(y=0)の直線が漸近線になります。また、xが限りなく小さくなって0に近づいて行く時、yの値は無限に近づいて行き、曲線は、Y軸(x=0)に近づいて行くので、Y軸(x=0)の直線が漸近線になるのです。
 

 
「漸近線(ぜんきんせん)」という言葉の意味が分かりにくいのだと思います。「漸(ぜん)」という漢字は、緩和辞典を引くと分かりますが、「漸く(ようやく)」という意味と、「段段と」という意味があります。

漢字熟語としては、「漸次」とか「漸増」などがあります。「漸次」とは「段段次へ」というような感じで、「段段と」という意味で、「漸増」とは「段段増えて行く」という意味です。

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Q二次関数f(x)=aX^2+bX+cについて、Y=f(x)のグラフをCとする。 Cの頂点が(4、2)

二次関数f(x)=aX^2+bX+cについて、Y=f(x)のグラフをCとする。

Cの頂点が(4、2)であり、Y切片が-14のときa=-1、b=8、c=-14である。

なぜa=-1、b=8になるのかわかりませんお願いします!

Aベストアンサー

頂点の座標が(4,2)なのでCは
y=p(x-4)^2+2
と書き表すことができる。
これを展開してy=ax^2+bx+cの式と比較する。
x^2の係数、xの係数、定数項、がそれぞれ一致するはずなので連立方程式が得られる。
これを解けばaとbは求まる。
別解としてy=ax^2+bx+cの式を平方完成させて、そこから連立方程式を得るというアプローチも考えられる。

この程度の問題は人に聞かずに解けるようにしておきたい。
でないと模擬試験で困るはず。
模擬試験で困るということは大学進学を希望する場合入試でもっと困るということになる。


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