4次関数のグラフについて

x^4 +x^3 +x^2 +x+1のグラフって、なんで左右対称にならないんですか。式の中に３乗が入っているからかもしれませんが、この式の導関数4x^3 +3x^2 +2x+1は変曲点に関して点対称ですよね？ってことはこの導関数を左からなぞって、だんだん減っていって、減る割合が増えて・・・変曲点で増えて・・・さらに右からもなぞっても同じ・・・と、導関数の減る割合や増える割合は左右同じだからｘ^4 +x^3 +x^2 +x+1だって左右対称になると思うんですが・・・。

わかりにくくてすみません。

No.9 回答者： staratras 回答日時： 2012/04/03 00:52

ご質問の「グラフの左右対称」が例えばＹ軸に関して対称ということであれば、与式をf(x)とおくと、すべてのxについてf(x)=f(-x)が成り立たなくてはならないので、ご指摘のようにx^3（に限らずxの奇数乗の項）があるとうまくいきません。

奇数乗の項を除いてf(x)=x^4+x^2+1とすればf(x)のグラフはＹ軸に関して対称になります。(添付図の右側）

ここで添付図の左側はもともとのf(x)=x^4+x^3+x^2+x+1とその導関数f'(x)=4x^3+3x^2+2x+1 のグラフを描いたものです。右側のf(x)=x^4+x^2+1　とその導関数f'(x)=4x^3+2x　の場合との違いがわかりますでしょうか。

以下は厳密な証明というより説明です。(わかりにくければご容赦ください）もとの関数f(x)の導関数f'(x)が負から正になる境目のf'(x)=0になる、f'(x)とＸ軸との交点のＸ座標がf(x)の極小値を与えるxの値です。このxの値を仮にx=Pとしますと、f(x)が左右対称（この場合はx=Pという直線に対して対称）になるためには、この極小値を与えるx=Pの前後でf(x)の減少と増加のカーブが同じ形にならなくてはならず、そのためにはy=f'(x)のグラフは点(P,f'(P))を中心に点対称でなければなりません。

添付図の右側ではy=f(x)=x^4+x^2+1 のグラフはｘ=0の時極小値をとり、しかもy=f'(x)=4x^3+2x のグラフは点(0,f'(0))を中心に点対称となっています。

ところが添付図の左側ではy=f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 のグラフが極小値をとるのは、　f'(x)=0 より、x≒-3/5　のあたり(詳しく計算すればx=-0.6058…くらい）ですが、明らかにy=f'(x)=4x^3+3x^2+2x+1　のグラフは点(約-3/5,f'(約-3/5))の付近を中心としては点対称にはなっていません。 この点より下では急激に増加しているのに比較して、この点より上では緩やかに増加しており、この結果としてy=f(x)のグラフは極小値の前は急激に減少しているのと比較して、極小値の後は緩やかに増加しています。結論として左右対称にはなりえない、ということです。

No.8 回答者： nao913 回答日時： 2012/04/02 18:44

分かりにくければ、ごめんなさいね。

ｙ＝x^4 +x^3 +x^2 +x+1

の関数のグラフは、「ｙ＝ｘ」が無ければ、

ｙ＝ｘ＾4　と、　ｙ＝ｘ＾３　と、　ｙ＝ｘ＾２　と、　ｙ＝１　
の４つの関数グラフを合成したものになります。

上の４つの関数のグラフは、すべて「左右対称」です。
この４つの関数のグラフを合成した関数（ｙ＝ｘ＾４＋ｘ＾３＋ｘ＾２＋１）のグラフは、
もちろん、左右対称になります。

しかし、
「ｙ＝ｘ」だけ、原点を通る、「右上がりのグラフ」です。
左右対称ではないですね。


上の４つの関数を合成した「左右対称」な合成関数「ｙ＝ｘ＾４＋ｘ＾３＋ｘ＾２＋１」に、
この「ｙ＝ｘ」という「非対称な」関数が合成されることで、左右対称が崩れてしまいます。

以上の、左右対称なグラフとその合成関数のグラフ、左右対称ではない「ｙ＝ｘ」のグラフを
描いて添付しました。（正確なグラフではないですが…）

ちなみに、
この関数の導関数「ｙ＝４ｘ＾３＋３ｘ＾２＋２ｘ＋１」は
ｘ＝０のときｙ＝１で、明らかに、ｘが増えればｙも増え続ける関数です。

導関数は「ｘ＜０」の領域で「０」になりますが、
肝心の、「ｘ＝０」のとき導関数の値が「０」でなく、「１」になってしまうので、
このことからも、左右対称は崩れることが分かることと思いますが・・・

また「変曲点」のことですが、
導関数をもう１度、微分したら、
「ｙ＝１２ｘ＾２＋６ｘ＋２」となります

でも、「１２ｘ＾２＋６ｘ＋２＝０」としたとき、
判別式は「－６６」と負の数になるので、ｘに解は有りません。

つまり、変曲点は無いことが分かると思います。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/02 16:09

　ワカッテルことと直感的イメージとが整合しなくて困っている、というご質問であって、直感的イメージの方から説明されないと納得に至らない、ということなのでしょう。

　お書きの式をf(x)としましょう。「変曲点に対して点対称」と仰るのは、f'''(x)=0の解(x=-1/4)より「点(x,f(x))=(-1/4, f'(-1/4))に対して点対称」って意味でおっしゃっていて、また「左右対称」とは「x=-1/4の直線に対して左右対称」という意味でしょう。
　さて、(x,f(x))のグラフが「直線x=cに対して左右対称」になるには、少なくとも、x＝cにおいてグラフは水平でなくてはならない。（これなら、イメージとして掴みやすいでしょ？）つまり、x=cで導関数 f'(c)が0でなくちゃならん。これは必要条件です。
　ところが、ご質問の式では、x=-1/4に於いて導関数f'は0でない値を持っている。関数fのグラフが水平じゃないんです。だから「直線x=-1/4に対して左右対称」にはならない。
　さらに、f'(a)=0となるaにおいて、(a,0)に対して(x,f'(x))は点対称でない。だから「直線x=cに対して左右対称」になるようなcはない。

No.6 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/04/02 15:58

まず一般論として考えて見ましょう。

y=f(x)のグラフが
・原点に関して点対称　⇔　f(-x)=-f(x)，奇関数
・y軸(x=0)に関して線対称　⇔　f(-x)=f(x)，偶関数

y=f(x)のグラフが
・点(a,b)に関して点対称　⇔　b-f(a-t)=f(a+t)-b
・直線x=aに関して線対称　⇔　f(a+t)=f(a-t)

さて，直線x=aに関して線対称なグラフの関数f(x)が微分可能ならば
f'(a+t)=-f'(a-t)が成り立ちます。
すなわち導関数のグラフy=f'(x)は点(a,0)に関して点対称となり，
対称軸x=aの上ではf'(a)=0を満たします。
(∵　x=aにおいてf'(a)=-f'(a)ゆえf'(a)=0)


さて，ご質問の関数f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1に関して考えて見ます。
f'(x)=4*x^3+3*x^2+2*x+1のグラフで変曲点は(-1/4,5/8)にあり，
f'(x)=4*(x+1/4)^3+(5/4)*(x+1/4)+5/8と書けますから，
点(-1/4,5/8)に関して点対称です。
しかし，f'(-1/4)≠0であるため，
y=f(x)のグラフは直線x=-1/4に関して線対称になりえません。


「どうしても線対称にしたい」なら，f'(x)から定数5/8を引いて
g'(x)=4*x^3+3*x^2+2*x+3/8
とすると，(x,y)=(-1/4,0)に関してy=g'(x)のグラフは点対称になります。これを積分して
g(x)=x^4+x^3+x^2+(3/8)x+C
=(x+1/4)^4+(5/8)*(x+1/4)^2-11/256+C
を作ると，直線x=-1/4に関して線対称になります。(Cは任意の積分定数)

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/04/02 12:23

「導関数の減る割合や増える割合」の「導関数」というのは, もともと考えていた関数 x^4 +x^3 +x^2 +x+1 の導関数である 4x^3 +3x^2 +2x+1 のことでいいですか? だとしたら, 「導関数の減る割合や増える割合は左右同じだから左右対称」のところに論理の飛躍があります.

何を (どこを) 軸として「左右対称になる」と思ったんでしょうか?

この回答への補足

変曲点を軸に

補足日時：2012/04/02 13:18

No.4 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/04/02 12:21

よくお考えください

点対称だからといって対称となっている二つの点の値の絶対値が等しいわけではありません
傾きの割合が異なるのに(正負ははずして)左右対称にはならないと思います

No.3 回答者： masudaya 回答日時： 2012/04/02 11:42

前の方も述べていますが

x^4+x^2+1はy軸対称で
X^3はy軸ではないので

この両者を加えた
x^4+x^3+x^2+1
はy軸対象になりません.

この回答への補足

質問文にも書いたように、それはわかっていますが、導関数を右から変曲点まで、左から変曲点までそれぞれなぞっていくと、三次関数ですので変曲点に関して点対称だから、導関数の値が減る割合と増加する値はおなじだから、もとの関数だって対称になっているはずだと思うんですが・・・。

補足日時：2012/04/02 11:53

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/04/02 11:18

多項式が左右対称になるためには、導関数が点対称で、変曲点のx座標をx=0に平行移動したとき

奇数次の項がなくならなくてはなりません
2次関数は平行移動すれば1次の項が消滅しますが
４次関数は３次の項だけが消えるので1次の項がなくならない場合があります

この回答への補足

質問文にも書いたように、それはわかっていますが、導関数を右から変曲点まで、左から変曲点までそれぞれなぞっていくと、三次関数ですので変曲点に関して点対称だから、導関数の値が減る割合と増加する値はおなじだから、もとの関数だって対称になっているはずだと思うんですが・・・。

補足日時：2012/04/02 11:52

No.1 回答者： Teio_Plateau 回答日時： 2012/04/02 10:48

数学で考証を続ける場合、言葉足らずだと綻びがどんどん出てきます。

それを無くしましょう。

まずは、左右対称というのはy軸でという事でいいのでしょうか。
y=x^4+x^2+1のように変数が偶数次だけであれば、左右対称と成り得るでしょうが、
y=x^3もy=xも左右対称じゃないですから、至って普通のことと思いますよ。

質問者の考えが明後日の方へ暴走して行き詰まっているだけのような気がします。
表題が左右対称じゃないという事のみを考えるならば、導関数すら不必要でしょう。