偏微分について

f(x)=1/√x^2+y^2+z^2について∂f/∂xの偏微分の解答をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2011/04/18 21:20

＞f(x)=1/√x^2+y^2+z^2

この書き方は変ですね。

f(x,y,z)=1/√x^2+y^2+z^2

に対して偏微分∂f/∂xが定義されるべきです。

偏微分のやり方はこの場合、x以外を定数とみて普通の微分をやればよろしい。

解りやすくするため

r=√x^2+y^2+z^2 (1)

と置くとf(x,y,z)=1/√x^2+y^2+z^2=1/r


∂f/∂x=(∂r/∂x)(d(1/r)/dr) (2)

(1)よりr^2=x^2+y^2+z^2

両辺をxで偏微分して

2r(∂r/∂x)=2x

よって

∂r/∂x=x/r　　　(3)

d(1/r)/dr＝-1/r^2 (4)

(3)、(4)を(2)に代入して

∂f/∂x=(x/r)(-1/r^2)=-x/r^3=-x/(√x^2+y^2+z^2)^3

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/18 18:55

高校で習った「微分」が、偏微分です。

a(xの2乗)+bx+c を x で微分するとき、
a, b, c は定数と考えていたでしょう？
それと同じ。
∂f/∂x を計算するときは、
y, z を定数と考えればよいのです。
それだけです。やってみて、補足をどうぞ。

偏微分は、単なる一変数関数の微分なので、
多変数関数を扱う全微分や、
合成関数の微分を考慮せねばならない常微分より、
ずっと簡単なのです。