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√(0.2)3乗
三乗根√(0.4)4乗
四乗根√(0.2)5乗

の3つの大小を比べよ、という問題です。
後ろの3乗4乗5乗は累乗根の中の数字にかかっています。
学校の課題で困っています。
よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

a=(0.2^3)^(1/2)=0.2^(3/2)=0.2・0.2^(1/3)


b=(0.4^4)^(1/3)=0.4^(4/3)=0.4・0.4^(1/3)
c=(0.2^5)^(1/4)=0.2^(5/4)=0.2・0.2^(1/4)
とおくと a>0,b>0,c>0

(1/3)>(1/4)かつ
f(x)=0.2^xは基数が1より小さいので単調減少関数であるから

 ∴a<c …(1)

bとcの大小関係を調べると b>0,c>0 かつ
b/c=0.4・0.4^(1/3)/(0.2・0.2^(1/4))
=(0.4/0.2)・0.4^(1/3)/0.2^(1/4)
=2・(2・0.2)^(1/3)/0.2^(1/4)
=2・2^(1/3)・0.2^{(1/3)-(1/4)}
=2・2^(1/3)・0.2^(1/12)
(b/c)^12=2^12・2^4・0.2=(2^17)/10=2^10・(2^7)/10=1024・128/10=1024・12.8>1
∴ b/c>1
b>0,c>0より ∴c<b …(2)

(1),(2)より a<c<b
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この回答へのお礼

4人の方から回答をいただきありがとうございました。
参考にさせていただいたinfo22さんの回答を
ベストアンサーに選ばせていただきました。
丁寧な説明感謝します。

お礼日時:2011/05/18 20:56

1/5=α とすると、0<α<1.


A=√α^3、B=(3)√(2α)^4、C=(4)√α^5、A>0、B>0、C>0 とする。
A^2=α^3、B^3=(2α)^4、C^4=α^5 である。
C^4-A^4=α^5*(1-α)>0  よつて、0<α<1より C>A。
B^12-C^12=α^15*(2^16*α-1) 。α=1/5>1/2^16 → 2^16*α-1>0 よって、B>C。

以上から、B>C>A。

A、B、Cの大小の見当をつけておくと、比較の回数は2回ですむ。
それができてないと、3回(上の比較に、AとBの比較が加わる)になる。
B^6 と A^6 を比較する事になる。
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適当に何乗かしてべき根を外してしまうのが簡単, か?

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三つとも 12 乗して比べる。

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