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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
1.
R^nの底を{e_k}_{k=1~n}
R^nの任意の生成系をM
M={v_j}_{j=1~m}
|M|=m≦nとする
1≦t≦m+1,{e_k}_{k=1~0}={v_k}_{k=m+1~m}=φとする
P(t)=[j=1~m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1~t-1},{v_k}_{k=t~m}の一次結合)≠0]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1~m→v_jが{e_k}_{k=1~0}=φ,{v_k}_{k=1~m}の一次結合]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1~m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1~s-1},{v_k}_{k=s~m}の一次結合)≠0]
は真と仮定すると
(y_j)v_j=Σ_{k=1~s-1}(z_{k,j})e_k+Σ_{k=s~n}(z_{k,j})v_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1~m},0≠y_j∈R]_{j=1~m}がある
M={v_j}_{j=1~m}はR^nの生成系だから
e_s=Σ_{j=1~m}x_jv_jとなる{x_j∈R}_{j=1~m}がある
y=Π_{j=1~m}y_j
z_k=Σ_{j=1~m}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)e_s=Σ_{k=1~s-1}(z_k)(e_k)+Σ_{k=s~m}(z_k)(v_k)
{z_k}_{k=s~m}=0であれば、(y)e_sは{e_k}_{k=1~s-1}の一次結合となり、
{e_j}_{j=1~n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦mとなるkが存在するから{v_k}_{k=s~m}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)v_s={(y)e_s-Σ_{k=1~s-1}(z_k)(e_k)-Σ_{k=s+1~m}(z_k)(v_k)}
P(s+1)=[j=1~m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1~s},{v_k}_{k=s+1~m}の一次結合)≠0]
は真となるから帰納法が成立し
P(m+1)=[j=1~m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1~m}の一次結合)≠0]
は真となるから
j=1~mに対して,
(y_j)v_j=Σ_{k=1~m}(z_{j,k})e_k,となる0≠y_j,z_{j,k}∈Rがある
M={v_j}_{j=1~m}はR^nの生成系だから
e_n=Σ_{j=1~m}(x_j)v_j,となる{x_j∈R}_{j=1~m}がある
y=Π_{j=1~m}y_j
z_k=Σ_{j=1~m}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)e_n=Σ_{k=1~m}(z_k)e_k
y≠0だから
{e_n},{e_k}_{k=1~m}は一次従属となるから
n>mならば{e_n},{e_k}_{k=1~m}は一次独立だから
n≦m=|M|となる
∴R^nの任意の生成系の元の数はn個以上となる
2.
R^nの階数はnだから
R^nの底{e_k}_{k=1~n}が存在する
任意のn+1個以上のR^nの元の組をMとする
|M|>n
{v_k}_{k=1~n+1}⊂M
{v_k}_{k=1~n}一次独立とする
1≦t≦n+1,{v_k}_{k=1~0}={e_k}_{k=n+1~n}=φとする
P(t)=[j=1~n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1~t-1},{e_k}_{k=t~n}の一次結合)≠0]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1~n→e_j=({v_k}_{k=1~0}=φ,{e_k}_{k=1~n}の一次結合)≠0]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1~n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1~s-1},{e_k}_{k=s~n}の一次結合)≠0]
は真と仮定すると
(y_j)e_j=Σ_{k=1~s-1}(z_{k,j})v_k+Σ_{k=s~n}(z_{k,j})e_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1~n},0≠y_j∈R]_{j=1~n}がある
{e_j}_{j=1~n}はR^nの底だから
v_s=Σ_{j=1~n}x_je_jとなる{x_j∈R}_{j=1~n}がある
y=Π_{j=1~n}y_j
z_k=Σ_{j=1~n}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)v_s=Σ_{k=1~s-1}(z_k)(v_k)+Σ_{k=s~n}(z_k)(e_k)
{z_k}_{k=s~n}=0であれば、(y)v_sは{v_k}_{k=1~s-1}の一次結合となり、
{v_j}_{j=1~n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦nとなるkが存在するから{e_k}_{k=s~n}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)e_s={(y)v_s-Σ_{k=1~s-1}(z_k)(v_k)-Σ_{k=s+1~n}(z_k)(e_k)}
P(s+1)=[j=1~n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1~s},{e_k}_{k=s+1~n}の一次結合)≠0]
は真となるから帰納法が成立し
P(n+1)=[j=1~n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1~n}の一次結合)≠0]
は真となるから
j=1~nに対して,
(y_j)e_j=Σ_{k=1~n}(z_{j,k})v_k,となる0≠y_j,z_{j,k}∈Rがある
{e_j}_{j=1~n}はR^nの底だから
v_{n+1}=Σ_{j=1~n}(x_j)e_j,となるx_j∈Rがある
y=Π_{j=1~n}y_j
z_k=Σ_{j=1~n}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)v_{n+1}=Σ_{k=1~n}(z_k)v_k
y≠0だから
∴
{v_k}_{k=1~n+1}は一次従属
No.2
- 回答日時:
1.
R^nの底を{e_k}_{k=1~n}
R^nの任意の生成系をM
M={v_j}_{j=1~m}
|M|=m≦nとする
1≦t≦m+1,{e_k}_{k=1~0}={v_k}_{k=m+1~m}=φとする
P(t)=[j=1~m→{v_j},{e_k}_{k=1~t-1},{v_k}_{k=t~m}が一次従属]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1~m→{v_j},{e_k}_{k=1~0}=φ,{v_k}_{k=1~m}が一次従属]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1~m→{v_j},{e_k}_{k=1~s-1},{v_k}_{k=s~m}が一次従属]
は真と仮定すると
(y_j)v_j=Σ_{k=1~s-1}(z_{k,j})e_k+Σ_{k=s~n}(z_{k,j})v_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1~m},0≠y_j∈R]_{j=1~m}がある
M={v_j}_{j=1~m}はR^nの生成系だから
e_s=Σ_{j=1~m}x_jv_jとなる{x_j∈R}_{j=1~m}がある
y=Π_{j=1~m}y_j
z_k=Σ_{j=1~m}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)e_s=Σ_{k=1~s-1}(z_k)(e_k)+Σ_{k=s~m}(z_k)(v_k)
{z_k}_{k=s~m}=0であれば、(y)e_sは{e_k}_{k=1~s-1}の一次結合となり、
{e_j}_{j=1~n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦mとなるkが存在するから{v_k}_{k=s~m}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)v_s={(y)e_s-Σ_{k=1~s-1}(z_k)(e_k)-Σ_{k=s+1~m}(z_k)(v_k)}
{v_s},{e_k}_{k=1~s},{v_k}_{k=s+1~m}が一次従属となる
P(s+1)=[j=1~m→{v_j},{e_k}_{k=1~s},{v_k}_{k=s+1~m}が一次従属]
は真となるから帰納法が成立し
P(m+1)=[j=1~m→{v_j},{e_k}_{k=1~m}が一次従属]
は真となるから
j=1~mに対して,
(y_j)v_j=Σ_{k=1~m}(z_{j,k})e_k,となるy_j,z_{j,k}∈Rがある
M={v_j}_{j=1~m}はR^nの生成系だから
e_n=Σ_{j=1~m}(x_j)v_j,となる{x_j∈R}_{j=1~m}がある
y=Π_{j=1~m}y_j
z_k=Σ_{j=1~m}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)e_n=Σ_{k=1~m}(z_k)e_k
{e_n},{e_k}_{k=1~m}は一次従属となるから
n>mならば{e_n},{e_k}_{k=1~m}は一次独立だから
n≦m=|M|となる
∴R^nの任意の生成系の元の数はn個以上となる
2.
R^nの階数はnだから
R^nの底{e_k}_{k=1~n}が存在する
任意のn+1個以上のR^nの元の組をMとする
|M|>n
{v_k}_{k=1~n+1}⊂M
{v_k}_{k=1~n}一次独立とする
1≦t≦n+1,{v_k}_{k=1~0}={e_k}_{k=n+1~n}=φとする
P(t)=[j=1~n→{e_j},{v_k}_{k=1~t-1},{e_k}_{k=t~n}が一次従属]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1~n→{e_j},{v_k}_{k=1~0}=φ,{e_k}_{k=1~n}が一次従属]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1~n→{e_j},{v_k}_{k=1~s-1},{e_k}_{k=s~n}が一次従属]
は真と仮定すると
(y_j)e_j=Σ_{k=1~s-1}(z_{k,j})v_k+Σ_{k=s~n}(z_{k,j})e_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1~n},0≠y_j∈R]_{j=1~n}がある
{e_j}_{j=1~n}はR^nの底だから
v_s=Σ_{j=1~n}x_je_jとなる{x_j∈R}_{j=1~n}がある
y=Π_{j=1~n}y_j
z_k=Σ_{j=1~n}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)v_s=Σ_{k=1~s-1}(z_k)(v_k)+Σ_{k=s~n}(z_k)(e_k)
{z_k}_{k=s~n}=0であれば、(y)v_sは{v_k}_{k=1~s-1}の一次結合となり、
{v_j}_{j=1~n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦nとなるkが存在するから{e_k}_{k=s~n}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)e_s={(y)v_s-Σ_{k=1~s-1}(z_k)(v_k)-Σ_{k=s+1~n}(z_k)(e_k)}
{e_s},{v_k}_{k=1~s},{e_k}_{k=s+1~n}が一次従属となる
P(s+1)=[j=1~n→{e_j},{v_k}_{k=1~s},{e_k}_{k=s+1~n}が一次従属]
は真となるから帰納法が成立し
P(n+1)=[j=1~n→{e_j},{v_k}_{k=1~n}が一次従属]
は真となるから
j=1~nに対して,
(y_j)e_j=Σ_{k=1~n}(z_{j,k})v_k,となるy_j,z_{j,k}∈Rがある
{e_j}_{j=1~n}はR^nの底だから
v_{n+1}=Σ_{j=1~n}(x_j)e_j,となるx_j∈Rがある
y=Π_{j=1~n}y_j
z_k=Σ_{j=1~n}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)v_{n+1}=Σ_{k=1~n}(z_k)v_k
∴
{v_k}_{k=1~n+1}は一次従属
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