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回転するボール

締切済

  • 質問者：nitadori
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

この問題は分かりません、教えてくださいお願いします。

質量M、半径Rのボーリングのボールを、初速度Voで最初回転させずに滑り投げた。その後しばらくすると、ボールは滑らずころがり始めた。ボールを滑り始めてからどのぐらいの時間でころがり始めたか求めよ。なお、レーンとボールの間の摩擦係数をUｋ重力加速度をｇとする。

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「加速係数」に関するQ&A： 重力加速度と重力換算係数の違い

A 回答 (2件)

No.2

  • 回答者： tknakamuri
  • 回答日時：

ボールは滑っているとき kMg の力を受けて重心が減速するので


速度は

v=v0-kgt

ボールは Rkmg のトルクで回転を加速してゆくので

球の慣性モーメントは (2/5)Mr^2 なので

dω/dt = Rkmg / I = (5/2)kg/R
ω = (5/2)kgt/R
Rω = (5/2)kgt

転がりに移る瞬間 Rω=v のはずなので、

Rω=v ⇒ (5/2)kgt = v0-kgt ⇒ t = (2/7)v0/(kg)
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この回答へのお礼

助かりました。どうも、ありがとうございます。

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お礼日時：2011/08/04 02:08

No.1

大ヒント！



ある物体を水平方向に投げ出すと、最初は地面とほぼ並行だね。

しかし少し時間が経つにつれてどんどん地面に近づく。

これは垂直方向の力が大きくなっているということ。

レーンとボールとの摩擦力は知っての通り垂直力に依存する。

ボールに作用する慣性力はMa（aは加速度）

加速度の勾配は負なので

慣性力は減少

OK?
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Q運動エネルギー　運動量　ボーリング

最近、運動量について習った高校生です。

ボーリングの球の質量をm,速さをvとすると、
運動エネルギー ＝1/2mv^2
運動量 ＝mv
となります。

ピンを弾き飛ばす力(力というのは適切な表現ではないかもしれませんが)は、運動エネルギーの式から考えるとボールの質量より速さによって大きく変わるように見えますが、運動量の式から考えるとボールの質量も速さもどちらも重要であるように見えます。

ふと思ったことで、変な質問だというのは分かっているのですが、どなたか回答していただけるとうれしいです。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

　ボールは回転しますが、計算がややこしくなるので、カーリングのように回転なしで、摩擦のない平面を滑るだけだとします。

　運動エネルギーで考えてみます。運動エネルギーが仕事をすると、力×距離で表されます。力＝運動エネルギー/距離ですね。

　ボールの質量をm、仕事をする前に持っている速度をv、力をF、運動エネルギーが仕事をする距離をLで表すことにします。ボールは運動エネルギーをすべて使う、つまり速度が0になるとします。力学的エネルギーで式を立てると、

　(1/2)mv^2=FL　∴F={(1/2)mv^2}/L　―(1)

となります。こうなるのに要する時間をtとします。

　距離Lでv→0となるわけですから、

　L=(1/2)vt　―(2)
　∴t=2L/v　―(3)

となります。

　運動量で考えると、ボールが停止するまでの時間をtとすれば、運動量の変化＝力×時間ですので、

　mv=Ft　∴F=mv/t―(4)

となります。運動エネルギで考えても、運動量で考えても、同じ現象ですから、Fもtも同じになるはずです。vも、もちろん同じですし、同じボールだからmも同じ。文字変数は全部共通です。

　運動エネルギーで求めた(1)に(2)を代入すると、

　F={(1/2)mv^2}/L={(1/2)mv^2}/{(1/2)vt}=mv/t

となり、運動量で考えた(4)がでます。逆に(4)に(3)を代入すると、


　F=mv/t=mv/(2L/v)={(1/2)mv^2}/L

と、運動エネルギーで考えた(1)が出ます。このように計算してみると、どちらも同じことを表していたわけです。

　一見するとエネルギーは速度の2乗に比例、運動量は速度比例と異なるのですが、エネルギーは距離で考え、運動量は時間で考えるため、距離や時間を換算すると同じになるのです。

　ボールは回転しますが、計算がややこしくなるので、カーリングのように回転なしで、摩擦のない平面を滑るだけだとします。

　運動エネルギーで考えてみます。運動エネルギーが仕事をすると、力×距離で表されます。力＝運動エネルギー/距離ですね。

　ボールの質量をm、仕事をする前に持っている速度をv、力をF、運動エネルギーが仕事をする距離をLで表すことにします。ボールは運動エネルギーをすべて使う、つまり速度が0になるとします。力学的エネルギーで式を立てると、

　(1/2)mv^2=FL　∴F={(1/2)mv^2}/L...続きを読む

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Qボウリングでのピンとボールの運動に関して

自分は趣味でボウリングしているのですが、物理的にボールの重さと速さの違いによって、ピンとの運動がどう違ってくるのか疑問になりました。

○同じボールを速度を変えてピンにややずれたポイントで当たった場合、そのピンをはじく方向と、ピンによってボール自身が変えられる方向は違ってくるのでしょうか？レーンとの摩擦の問題もあるかと思いますが、そういうところは無視しえるとしてどうでしょうか？

○速度が同じで、重さの違うボールが、ピンの同じポイントにヒットした場合、ピンボールともにはじかれる方向は違ってくるでしょうか？

以上が知りたいです。

Aベストアンサー

紙に小さい円と大きい円が接している図を書いてみてください。
中心を結んだ線とそれに垂直な（円の接触点を通る）線が決まります。運動はこの２つの方向を基準にして考える事になります。
はじめピンは止まっています。ボールとピンの間の摩擦がないとした場合、ボールが当たるとピンはこの中心線の方向に飛び出して行きます。
飛び出しの速さはボールの質量や速さによって変わります。でも方向は衝突の位置関係だけで決まります。
ボールの方も中心線の方向での速度が変化します。中心線に垂直な方向の成分は変化しません。中心線の方向のボールの速度変化の大きさは質量によって変わります。
ボールの質量がピンの質量に比べて十分大きいときはほとんど直進します。ボールの質量とピンの質量が等しくて反発のいい場合では中心線に垂直な方向に進みます。

式で考えて見ます。
この中心線の方向についてのボールの速度成分をＶ、Ｖ’ピンの速度をｖ、ｖ’とします。ボールの質量をＭ，ピンの質量をｍとします。
質量と速度をかけた運動量と呼ばれている量についての式がかけます。
ｍＶ＋ＭＶ＝ｍｖ’＋ＭＶ’
（左辺は衝突の前、右辺は衝突の後です。運動量の和が保存するという関係を表している式です。）
相対速度の比で反発の程度を表します。
（Ｖ’－ｖ’)/(Ｖ－ｖ）＝－ｅ
反発のいい場合はｅ≒１です。

ｖ＝０、ｅ＝１として式を解くと
ｖ’＝（２Ｍ／(Ｍ＋ｍ))Ｖ
Ｖ’＝((Ｍ－ｍ)/(Ｍ＋ｍ))Ｖ
です。
Ｍ＝１０ｍとすると
ｖ’＝(２０／１１)Ｖ
Ｖ’＝(９／１１)Ｖ
になります。
Ｍ／ｍがもっと大きくなると
ｖ’≒２Ｖ
Ｖ’≒Ｖ
になります。

ボールとピンの間に摩擦があるとした場合は接触面方向で力が働きますから中心線に垂直な速度成分も変化します。ボールの回転も影響してきます。

紙に小さい円と大きい円が接している図を書いてみてください。
中心を結んだ線とそれに垂直な（円の接触点を通る）線が決まります。運動はこの２つの方向を基準にして考える事になります。
はじめピンは止まっています。ボールとピンの間の摩擦がないとした場合、ボールが当たるとピンはこの中心線の方向に飛び出して行きます。
飛び出しの速さはボールの質量や速さによって変わります。でも方向は衝突の位置関係だけで決まります。
ボールの方も中心線の方向での速度が変化します。中心線に垂直な方向の成分...続きを読む

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Q鎖を引き上げる運動

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか？

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーE(z)を求めよ。

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という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか？
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そして、(4)はどうなるのでしょうか？

どうか、よろしくお願いします。

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか？

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギ...続きを読む

Aベストアンサー

（２）
鎖の先端の高さがｚのとき、宙に浮いている鎖の質量はλｚになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λｚｇを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλｚｖですから、
F-λｚｇ＝ｄ（λｚｖ）／ｄｔ
　　　　　＝λ（ｚ・ｄｖ／ｄｔ＋ｖ・ｄｚ／ｄｔ）
　　　　　＝λ（ｚａ＋ｖ＾２）
よって
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｚａ＋ｖ＾２）

（３）
速度が一定なので上記においてａ＝０、かつ速度がｖ０なので、Ｆは
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｖ０＾２）
変数としての鎖先端の高さをｈとします。
Ｗ（ｚ）＝∫Ｆｄｈ　（積分範囲は０からｚ）
　　　　＝λ∫（ｈｇ＋ｖ＾２）ｄｈ　（積分範囲は同上）
　　　　＝λ［ｇｈ＾２／２＋ｈｖ０＾２］　（範囲は同上）
　　　　＝λ（ｇｚ＾２／２＋ｚｖ０＾２）

Ｅ（ｚ）は質量λｚの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλｇｚ＾２／２　（２で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がｚ／２の高さにあるからです）　であり、後者はλｚｖ０＾２／２です。
よって
Ｅ（ｚ）＝λ（ｇｚ＾２＋ｚｖ０＾２）／２

（４）
一言でいうと、質量が変化するからＷ（ｚ）とＥ（ｚ）が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題７と８を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf

（２）
鎖の先端の高さがｚのとき、宙に浮いている鎖の質量はλｚになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λｚｇを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλｚｖですから、
F-λｚｇ＝ｄ（λｚｖ）／ｄｔ
　　　　　＝λ（ｚ・ｄｖ／ｄｔ＋ｖ・ｄｚ／ｄｔ）
　　　　　＝λ（ｚａ＋ｖ＾２）
よって
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｚａ＋ｖ＾２）

（３）
速度が一定なので上記においてａ＝０、かつ速度がｖ０なので、Ｆは
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｖ０＾２）
変数としての鎖先端の高さをｈとします...続きを読む

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