マンガでよめる痔のこと・薬のこと

高校の宿題なんですけど、
実数x、yがx^2+xy+y^2=3を満たしていて
u=x+y、v=xyとするとき、
1.vをuの式で表す
2.uのとりうる値の範囲は?
3.x+xy+yのとりうる値の範囲は?
一週間ず~っと悩んでるんですけど、1.はかろうじて解けても2.3がまったく分かりません。
ちなみに1.の解は
v=u^2-3であってるでしょうか?

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A 回答 (2件)

1歩遅かったか・・・



ポイントと回答を載せときます。できればポイントだけ見て自分で解いた方がいいかと。

ポイント
1.v=u^2-3であってます。

2.
x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-(x+y)t+xy=0
は、実数の2解を持たねばならない。(っていうか、実数xと実数yが解)
判別式を取りましょう。
vとuに関する条件式がでるので、1の結果を用いてuだけの2次不等式にできます。解きましょう。

3.
1.の結果を用いてx+xy+yをuだけの式にできます。
2.の範囲での最大最小を求めます。


回答
1.式の変形
与式より
 x^2+xy+y^2-3=0
 (x+y)^2-xy-3=0
 u^2-v-3=0
 v=u^2-3

2.とりうる範囲
u=x+y v=xy 、x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-ut+v=0
は、実数の2解を持たねばならない。(ここ大事)
 D=u^2-4v=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2>=0
 v<=(u^2)/4
この式に1.の結果を代入して、
 u^2-3<=(u^2)/4
 u^2<=4
 -2<=u<=2

3.値の範囲
 x+xy+y=u+v=u^2+u-3=(u+1/2)^2-13/4
従って f(u)=(u+1/2)^2-13/4の-2<=u<=2での増減を調べればよい。(以下省略)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました(^^)
この問題って98年の某大学の入試問題だったんですね・・・。
さっき自分の問題集で発見しました。
1週間悩んでた私って一体・・・。
でもその問題集の回答が略解だったので、詳しく分かってよかったです☆

お礼日時:2003/11/05 23:28

xとyを入れ替えても変わらない式を対称式といいます。


対称式は基本対称式、x+y,xyの2つを用いて表せます。
x^2+xy+y^2=3
(x+y)^2-xy=3
u^2-v=3
ということで1はあってますね。

(2)
x,yはtの2次方程式の解だから次のように表せて
t^2-ux+v=0
tは実数だから
u^2-4v≧0
v≦-u/2,u/2≦v
v=u^2-3だから
u^2+u/2-3≦0,u^2-u/2-3≧0
コレをといてください。

(3)x+xy+y=u+v(=kとおく)
縦軸にvを横軸にuをとってグラフを描いてみましょう。

v=u^2-3・・・・・1
v=-u+k(kはy切片)・・・2
uの(2)で求めた範囲。・・・3

でkのとりうる値を求めましょう。
(1と2の3の範囲で交わるようなkの値)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
やっぱり数学って解けると面白いけど、それまでが大変ですね。。
とても詳しい解説ありがとうございます!!

お礼日時:2003/11/05 23:30

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Aベストアンサー

x^2+xy+y^2=1をu,vで書きなおすと
u^2-v=1
よって
v=u^2-1 (1)
uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、
従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが
一つ条件を忘れています。
それはx,yが実数であるということです。
x,yを解とする2次方程式は
t^2-(x+y)t+xy=0
よって
t~2-ut+v=0
これが実解を持つ条件は判別式Dが
D=u^2-4v≧0

v≦u^2/4 (2)

u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると
結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK)
であることが解ります。
最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで
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Aベストアンサー

X = x+y, Y = x^2+y^2

としたならば,XとYが満たす条件を求めるということです.

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか?

x+y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう.

さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても,この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか?

X=0とかやってみると
x+y = 0
xy = -y^2 = -Y/2
なんだから Y=-10 とかしたらもうアウト.

ということで,X,Yは(A)をみたすようなx,yが存在することが必要十分です.
つまり
ここでさらに考える.
x+y = A
xy = B
という形の連立方程式ってのは
じつは
t^2 -At + B = 0
っていう方程式の解です.

ということで,
t^2 - X t + (X^2-Y)/2 = 0
という方程式が
-1<= t <= 1
の「(重解を含めて)二つの解」を持つ条件を考えればいい.

f(t) = t^2 -X t + (X^2-Y)
とおけば
f(-1)>=0 f(1)>=0
f(X/2) <= 0
-1 <= X/2 <=1
あたりってところかな.

X = x+y, Y = x^2+y^2

としたならば,XとYが満たす条件を求めるということです.

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか?

x+y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう.

さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても,この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか?

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1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。
  従って、2次方程式★の判別式から
   9k^2-12(k^2-9)≧0
  ⇔k^2≦36
  ∴-6≦k≦6
となります。
 ここから 最大値 6、最小値-6を得ます。

3) 最大・最小となるx、yの値を求めます。
  k=±6 のとき 式★の2次方程式は (x干3)^2=0 となりますので、その解は x=±3 となります。(複号同順)
 また、yの値は k=±6, x=±3 のとき y=(x-k)/2=±(3-6)/2=干3/2 となります。(複号同順)

 従って、最大値は(x,y)=(3,-3/2)のとき 6 で、最小値は(x,y)=(-3,3/2)のとき -6 となります。

1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。...続きを読む

Q実数条件と2次方程式

x+y=u,xy=vと置き換えるとき
x,yが実数であればuとvにどのように条件を引き継ぐかを考えます
ある参考書によると

x,yが実数
⇔x+y,x-yが実数
⇔uが実数、(x-y)^2=(x+y)^2-4xy>=0
⇔uが実数、u^2-4v>=0

と書いてありました

しかしここでまず疑問に思ったのが、一般的にtについての2次方程式の
解の条件に帰着する方法で考えると思うのですが、それで同値変形してみると

x,yが実数
⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0が2実解を持つ
⇔D>=0

となりuが実数という条件が出てきません
どこがおかしいのか教えていただきたいと思います

また、x,yが実数であり0<x<1,0<y<1という条件を同様に考えて変形すると

x,yが実数、0<x<1,0<y<1
⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0(=f(t)とおく)が0<t<1に2実解を持つ
⇔D>=0,軸>0,f(0)>0,f(1)>0

というようになります
これは正しい同値変形なのでしょうか

合わせてご教授お願いします
判別式Dが実数係数の式でしか使えないということが関係しているのか
とも思うのですが、やはりよくわかりません
よろしくお願いいたします

x+y=u,xy=vと置き換えるとき
x,yが実数であればuとvにどのように条件を引き継ぐかを考えます
ある参考書によると

x,yが実数
⇔x+y,x-yが実数
⇔uが実数、(x-y)^2=(x+y)^2-4xy>=0
⇔uが実数、u^2-4v>=0

と書いてありました

しかしここでまず疑問に思ったのが、一般的にtについての2次方程式の
解の条件に帰着する方法で考えると思うのですが、それで同値変形してみると

x,yが実数
⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0が2実解を持つ
⇔D>=0

となりuが実数という条件が出てきません
どこがおかしいのか教えていただきた...続きを読む

Aベストアンサー

D>=0ではなく
-u±√(u^2-4v)が実数ってことではないでしょうか?
当たり前ですが-u+√(u^2-4v)-u-√(u^2-4v)=-uが実数となります


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