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「2元対称通信路に4ビットの情報を伝送したときに1ビットの誤りが発生する確率」を求める場合として,私は以下のように考えて求めました。
このことについて,不明な点がありますので教えていただきたいと思っております。

4ビットの情報を伝送するということなので、全部の通り数は16通りあり,その中で1ビットの誤りが発生しているものは4通りあります。
そこで,このことをふまえ2項分布の定義を利用し計算しました。

それは,
0を伝送し0になる率が(1-P)
0を伝送し1になる率がP
(対称なので1を伝送する場合も同じです)
とした場合,

4C1(P)^1(1-P)^4-1
=4P(1-P)^3

これを展開すると,

=4P-12P^2+12P^3-4P^4

となりました。

そこで,皆さまに教えていただきたいのは
この考え方でよいのか?
そしてその場合,”答”のあらわし方は展開する前の
かたちか展開した後のかたちの方がよいのか?
ということです。

また,間違っている場合は正しい考え方等を教えて
いただければと思っております。

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

問題ないんじゃないですか。


いや、展開がこれでいいかまでは確認してませんがね。
通常、因数分解可能なら、因数分解した形で答えは出します。
その方がきれいだと思いませんか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2003/11/22 14:56

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Q通信路容量を求める問題

通信路行列が

T=
|0.6 0.3 0.1|
|0.3 0.1 0.6|
|0.1 0.6 0.3|
で与えられる通信路の通信路容量の求め方をわかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

2元対称通信路の通信路容量については沢山例題や参考URLが見つかりますが、3元対称通信路の通信路容量については殆ど見当たりませんね。
なので大学の情報関係や通信関係の授業でしっかりノートをとって先生にしっかり食い下がって質問してモノにするのが一番いいかもしれません。
参考URLにも2元対称通信路の通信容量については詳しく載っています。
それを3元対称通信路に拡張して通信容量を求めれば良いだけです。
ただ、元数が増加すると通信路容量を求める基になる相互情報量を最大化する変数の個数が増えてとたんに通信路容量を求めることが困難になります。

送信側を
X=(p1,p2,1-p1-p2) ...(1)
受信側を
Y=(q1,q2,q3) ...(2)
とすると
T=
(t11,t12,t13)
(t21,t22,t23)
(t31,t32,t33) ...(3a)
=
(0.6 0.3 0.1)
(0.3 0.1 0.6)
(0.1 0.6 0.3) ...(3b)
より
Y=XT ...(4a)
=(0.6p1+0.3p2+0.1(1-p1-p2),0.3p1+0.1p2+0.6(1-p1-p2),
0.1p1+0.6p2+0.3(1-p1-p2))
=(0.5p1+0.2p2+0.1,-0.3p1-0.5p2+0.6,-0.2p1+0.3p2+0.3) ...(4b)
=(q1,q2,q3) ...(4c)

YのエントロピーH(Y)は
H(Y)=-q1log2(q1)-q2log2(q2)-q2log2(q3) ...(5a)
=-(0.5p1+0.2p2+0.1)log2(0.5p1+0.2p2+0.1)-(-0.3p1-0.5p2+0.6)log2(-0.3p1-0.5p2+0.6)-(-0.2p1+0.3p2+0.3)log2(-0.2p1+0.3p2+0.3) ...(5b)

YのXによる条件付きエントロピーH(Y/X)は
H(Y/X)=-Σ(i=1,3)piΣ(j=1,3)tijlog2(tij) ...(6a)
=-p1{0.6log2(0.6)+0,3log2(0.3)+0.1log2(0.1)}
-p2{0.3log2(0.3)+0.1log2(0.1)+0.6log2(0.6)}
-(1-p1-p2){0.1log2(0.1)+0.6log2(0.6)+0.3log2(0.3)} ...(6b)

相互情報量I(X;Y)は
I(X;Y)=H(Y)-H(Y/X) ...(7a)
=-(1/10){(3p2-2p1+3)log2(3p2-2p1+3)+(2p2+5p1+1)log2(2p2+5p1+1)-5p2
log2(-5p2-3p1+6)+(6-3p1)log2(-5*p2-3*p1+6)-10*log2(10)}-(8174/9103)log2(e) ...(7b)
I(X;Y)の最大値が通信路容量だからI(X;Y)=f(p1,p2) ...(8)(0≦p1≦1,0≦p2≦1,p1+p2≦1 ...(9))の最大となるp1,p2とその時の最大値を求めれば良い。

f_p1=∂f(p1,p2)/∂p1 ...(10a)
=(1/10){2log2(3p2-2p1+3)-5log2(2p2+5p1+1)+3log2(-5p2-3p1+6)}...(10b)
f_p2=∂f(p1,p2)/∂p2 ...(11a)
=(1/10)(-3log2(3p2-2p1+3)-2log2(2p2+5p1+1)+5log2(-5p2-3p1+6))...(11b)

f_p1=f_p2=0 ...(12)のただ1組の実数解の組(p1,p2)(0≦p1≦1,0≦p2≦1,p1+p2≦1)が存在する。その時のf(p1,p2)が相互情報量の最大値すなわち通信路容量Cになる。

f_p1=0より
2log2(3p2-2p1+3)-5log2(2p2+5p1+1)+3log2(-5p2-3p1+6)=0
log2{(3p2-2p1+3)^2*(-5p2-3p1+6)^3}=log2{(2p2+5p1+1)^5}
(3p2-2p1+3)^2*(-5p2-3p1+6)^3=(2p2+5p1+1)^5 ...(13)

f_p2=0より
-3log2(3p2-2p1+3)-2log2(2p2+5p1+1)+5log2(-5p2-3p1+6)=0
3log2(3p2-2p1+3)+2log2(2p2+5p1+1)=5log2(-5p2-3p1+6)
log2{(3p2-2p1+3)^3*(2p2+5p1+1)^2}=log2{(-5p2-3p1+6)^5}
(3p2-2p1+3)^3*(2p2+5p1+1)^2=(-5p2-3p1+6)^5 ...(14)
(13),(14)を横軸にp1=x,縦軸にp2=yをとってプロットすると直線y=x上でただ1つ交点を持つことがわかる。
従って交点の座標は(13)式とp1=p2の(13)式でp1=p2の連立方程式を解けば求まる。(13)式でp1=p2=xとおいて
(3x-2x+3)^2*(-5x-3x+6)^3=(2x+5x+1)^5
(x+3)^2*(6-8x)^3=(7x+1)^5 ...(15)
(7x+1)^5+(x+3)^2*8(4x-3)^3
=(3x-1)(5773x^4+6566x^3+2852x^2-686x+1943)=0 ...(16)
(16)の第2項
g(x)=5773x^4+6566x^3+2852x^2-686x+1943はグラフを描けば
g(x)>0であることがわかる。言い換えれば
5773x^4+6566x^3+2852x^2-686x+1943=0 ...(17)は2組の共役な虚数解を持つから
(16)の実数解はx=1/3(=p1=p2)のみである。
相互情報量I(X;Y)はX=(p1,p2,1-p1-p2)=(1/3,1/3,1/3)のとき最大値は
(7b),(8)式から
f(p1,p2)=f(1/3,1,3)
=(9103log(3)-8174)/(9103log(2))=0.28950… ...(18)
定義により、(18)で与えられる相互情報量I(X;Y)の最大値が(3b)の3元対称通信路行列Tの通信路の通信路容量Cである。

参考までに
z=f(p1,p2)=I(X;Y)
をwxMaximaを使って3次元プロットした図を添付します。
p1=p2=1/3辺りでI(X;Y)が最大値f(1/3,1/3)=0.28950…=C(通信路容量) となっていることがほぼわかる。

参考URL:http://www.eva.ie.u-ryukyu.ac.jp/~endo/classes/通信路容量.pdf

2元対称通信路の通信路容量については沢山例題や参考URLが見つかりますが、3元対称通信路の通信路容量については殆ど見当たりませんね。
なので大学の情報関係や通信関係の授業でしっかりノートをとって先生にしっかり食い下がって質問してモノにするのが一番いいかもしれません。
参考URLにも2元対称通信路の通信容量については詳しく載っています。
それを3元対称通信路に拡張して通信容量を求めれば良いだけです。
ただ、元数が増加すると通信路容量を求める基になる相互情報量を最大化する変数の個数が増えて...続きを読む

Q2元対称通信路についてです。

0 1
送信記号A=(1/2 1/2) 通信路行列 T = (3/4, 1/4 )
( 1/4, 3/4 )
である2元対称通信路の伝送情報量を求めよという問題において

伝送情報量 I = ΣΣP(a,b) log P(a,b)/P(a)・P(b)

という式で表されるようなのです。答えは約0.189になるようなのですが全然一致しないんです。

求まった確率は次のようになりました

P(a0)=P(a1)=1/2

P(b0)=1/2*3/4+1/2*1/4=1/2
P(b1)=1-P(b0)=1/2

P(a0|b0)=P(a1|b1)=3/4
P(a0,b0)=P(a1,b1)=3/8

これらの値を式に代入して
P(a0,b0)*log(P(a0,b0)/P(a0)*P(b0)) + P(a1,b1)*log(P(a1,b1)/P(a1)*P(b1))

を計算したのですが0.189には遠くなってしまいました。
求めた確率、または式への代入にミスがあったのでしょうか?ミスがあればご教授願います。

ちなみにエントロピーを用いた計算では0.189が求まりました。

0 1
送信記号A=(1/2 1/2) 通信路行列 T = (3/4, 1/4 )
( 1/4, 3/4 )
である2元対称通信路の伝送情報量を求めよという問題において

伝送情報量 I = ΣΣP(a,b) log P(a,b)/P(a)・P(b)

という式で表されるようなのです。答えは約0.189になるようなのですが全然一致しないんです。

求まった確率は次のようになりました

P(a0)=P(a1)=1/2

P(b0)=1/2*3/4+1/2*1/4=1/2
P(b1)=1-P(b0)=1/2

P(a0|b0)=P(a1|b1)=3/4
P(a0,b0)=P(a1,b1)=3/8

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Aベストアンサー

ΣΣP(a,b) log P(a,b)/P(a)・P(b)
=P(a0,b0)*log(P(a0,b0)/P(a0)*P(b0)) + P(a1,b1)*log(P(a1,b1)/P(a1)*P(b1))
+P(a1,b0)*log(P(a1,b0)/P(a1)*P(b0)) + P(a1,b0)*log(P(a1,b0)/P(a1)*P(b0))
です。
もうちょっと計算すれば大丈夫でしょう^^


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