ナイキスト周波数(間隔) 標本化定理

複数の本やサイトを用いてナイキスト周波数や標本化定理，サンプリング周波数について，学んでいるものです．
しかし混乱しました．

ナイキスト間隔とは，元の信号を再現出来る最高の間隔でこれ以上の間隔でサンプリング(標本化)すると折り返し歪が生じるというような間隔，逆に言うと，これより小さなサンプリング間隔でサンプリングすれば良いと本に書いてありました．

また，ナイキスト間隔の逆数はナイキスト周波数であり，
サンプリング間隔の逆数はサンプリング周波数であるので，
サンプリング周波数はナイキスト周波数より大きければ良い，と書いてあるのですが，ここが分けわかりません．

Example

周期T=2の波をサンプリング間隔Ts=0.5でサンプリングした場合
周期の周波数はf=0.5Hz,サンプリング周波数はfs=2Hz　この時，

ナイキスト周波数はfn=1Hz,ナイキスト間隔は Tn=1なのでしょうか？
だとすると，ナイキスト周波数以上でサンプリングすればいいという記述はどういった意味なのでしょうか？　

サンプリング定理によると，(ローパスフィルタなどを用いずに)折り返し歪を防ぐには，
常にナイキスト周波数の２倍以上の周波数が求められるのだから,
サンプリング周波数はナイキスト周波数の２倍以上なら良いと書くべきではないでしょうか？
しかし自分でも感じるのですが，この結論もまた謎です＾＾；

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/13 03:18

「元の信号」はいろんな周波数の成分を含んでいます。

「元の信号」が含む周波数成分のうちで最も高い周波数を持つ成分の周波数（略して「最高周波数」と言ったりしますが）をωとするとき、2ωがナイキスト周波数であり、これが、サンプリングによって「元の信号」の情報を失わない（∴「元の信号を再現できる」）ために必要な最低限のサンプリング周波数である、ということです。

　「元の信号」が周期的かどうかは、ナイキスト周波数の話とは関係ありません。
　「元の信号」が周期的でない場合、あらゆる周波数の成分が含まれうる。一方、「元の信号」が周期Tを持つ場合には、「元の信号」が含む成分の周波数は(n/T) (n=0,1,2,…)に限られ、半端な周波数の成分は含まれない。単にそれだけの違いに過ぎません。

　で、おそらくご質問は、「元の信号」の周期がいくらかという話と、「元の信号」の含まれる最高周波数はいくらか、という話を混同なさっているんでしょう。　
　それは「元の信号」に n=2以上の成分が含まれない（だから「元の信号」は周期Tのサインカーブと直流成分の和である）と仮定したことになります。でも、そんな条件はどこにもないはず。

　まとめますと、ナイキスト周波数は「元の信号」の周期とは全く関係なく、ただ、「元の信号」が含む最高周波数によって決まるんです。
　で、「元の信号」が含む最高周波数はいくらか、というのは、その「元の信号」を作り出した信号源の性質に依る。たとえば、「元の信号」が、ある周波数より高い成分が通過できないようなフィルター（ローパスフィルター）を通して得たものであれば、通過できる最高周波数によってナイキスト周波数が決まる。


　なお、

> (ローパスフィルタなどを用いずに)折り返し歪を防ぐには

とお書きですが、もし「元の信号」にローパスフィルタを作用させていくらかでも信号に変化が生じさせてしまったならば、その後では、もはやどんなに細かくサンプリングしても「元の信号」は再現不可能になります。
　そうじゃなくて、「元の信号」が生じるまでの過程で（例えば、観測している物理現象の特性だとか、センサーの応答特性だとか、レンズのピンぼけだとか、アンプのゲイン特性だとかによって）ある周波数より高い周波数の成分が含まれていない（正確には、ノイズに比べて無視できる程度の振幅しかない）という状況が生じる。それに合わせてサンプリング周波数を設計するんです。

この回答へのお礼

回答有難う御座います．参考にさせて戴きます．

お礼日時：2012/04/21 12:04

No.3 回答者： kiyomushi 回答日時： 2012/04/14 08:02

>ナイキスト周波数はfn=1Hz,ナイキスト間隔は Tn=1なのでしょうか？

「周期T=2の波」が正弦波なら、そうでしょう。

>ナイキスト周波数以上でサンプリングすればいいという記述はどういった意味なのでしょうか？

おっしゃるように、これは間違いと思われます。

「少なくともナイキスト周波数の 2 倍を超える周波数でサンプリングする必要がある」とすべきでしょう。

「2 倍以上」ではなく「2 倍を超える」でないといけません。cos なら 2 倍でもよいのですが、sin だと 2 倍ではゼロばかりサンプリングされてしまうからです。

なお、申し上げるまでもないとは思いますが、2.000001 倍なら OK かというと、現実問題としてそんな急峻な LPF は作れないので、実際にはもっと高くサンプリング周波数を設定する必要があります。

この回答へのお礼

回答有難う御座います．参考にさせて戴きます．

お礼日時：2012/04/21 12:02

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/13 20:56

ANo.1の訂正です。

> ωとするとき、2ωがナイキスト周波数であり、これが

　うおっと、滑りました。

> ω(ナイキスト周波数)とするとき、2ωが

に訂正です。

この回答へのお礼

わかりました．

お礼日時：2013/06/04 21:33