物理現象を対象とした偏微分方程式

偏微分方程式には、2階の偏微分方程式がよく取り上げられると思うのですが、
(波動方程式など)

1階の偏微分方程式はどのような場面で取りあげられるのでしょうか？
あまり見たことがないので疑問に思いました。

何となくですが、電磁波などの波に関する物理現象を考える場合に
現れそうな気がするのですが・・・

また、なぜ2階の偏微分方程式の方が学問的にもより考えられているのかがよくわかりません・・


どなたかわかる方教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/09/09 19:46

こんばんわ。

出てくる方程式、出てくる方程式が、そうなりますよね。＾＾

＞なぜ2階の偏微分方程式の方が
＞学問的にもより考えられているのかがよくわかりません
物理学の基本的な考え方として、
おおざっぱな表現ですが「自然は楽をしたがる」というのがあります。
そして、楽をするために、自然は「まわりとの平均をとる」という動きをします。
つまり、プラスになりすぎたらマイナスして、マイナスになりすぎたらプラスするという動きです。
これは、ちょうど「単振動（調和振動子）」の動きにかさねあわさります。

ですので、単振動のような 2階の微分方程式が現れてくることが多いのです。


＞1階の偏微分方程式はどのような場面で取りあげられるのでしょうか？
逆に、一方的に「拡がっていくような」現象があてはまります。
たとえば、熱伝導方程式や拡散方程式は、時間の 1階微分の方程式になっています。

シュレディンガー方程式も時間の 1回微分の方程式です。
時間がたつと、確率の「山」がどんどんなだらかになっていき、
どこにいるのかはっきりしなくなる様子を表しているとも言えると思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/09/09 14:20

1階の微分方程式だと, 向きによって式が変わっちゃうんじゃないかな. とくに空間に関しては困ったことになりそうです. たとえば, 1次元を仮定して

∂f/∂x = F(f, x)
という形の式の場合, 軸を逆向きにすると
-∂f/∂x = F(f, -x)
となって式の形が変わってしまいます (左辺の偏微分の符号が違う). 2階の (というか偶数階の) 微分方程式ならこの問題は自動的に解決できます.

ちなみに拡散方程式は時間に関して 1階 (空間に関しては 2階) ですね.