二次関数の応用問題です。補足

QNo.7066405で質問したのですが
解き方のヒントを書いていなかったので再度質問します。

１本の針金がある。これを２つに分けて２つの円周をつくる。
この２つの円の面積の和が最小となるのは、針金をどのように分けたときか。
と問題があります。

この問題の解き方のヒントが「針金の長さをＬ（正の定数）とおき、２つの
円の半径をｘ、Ｌ-ｘとおくと計算が大変になる。そこで２つの円の半径を
ｘ、ｙとおくと針金の長さは２πｘ＋２πｙで表される。
これを４πＬ（定数）とおいて計算するとよい。」書かれています。

このヒントを用いた解き方をおしえてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/10/13 10:19

単純な2次関数の問題。

x＋y＝2L　‥‥(1)だから　S＝π(x＾2＋y＾2)‥‥(2).y＝2L-x＞0より　0＜x＜2L。
x＾2＋y＾2＝x＾2＋(2L-x)＾2＝展開して平方完成すると＝2(x-L)＾2＋2L＾2　これを　0＜x＜2L　の範囲で考えると、最小値はx-L＝0　のときに　2L＾2。
よって、求める最小値は(2)から　2πL＾2　で　それを与えるのは　(1)より　x＝y＝L　の時。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/12 23:46

２つの円の半径をｘ、ｙ(x>0, y>0) とおくと針金の長さは

２πｘ＋２πｙで表される。
２πｘ＋２πｙ＝４πＬと置くと
　x+y=2L …(★)

この時２つの円の面積の和Sは
　S=πx^2 +πy^2=π{(x+y)^2 -2xy}
(★)を代入
　S=π(4L^2 -2xy) …(☆)
x>0,y>0なので相加平均・相乗平均の関係より
　√(xy)≦(x+y)/2　（等号はx=y=Lの時成立）
　　　　＝L (∵(★)を代入)
　xy≦L^2
xy＞0より
　-2xy≧-2L^2　（等号はx=y=Lの時成立）
この時（☆）は
　S≧π(4L^2 -2L^2) （等号はx=y=Lの時成立）
　 ＝2πL^2
したがって
　x=y=Lの時　2つの円の面積の和の最小値は 「2πL^2」

>この２つの円の面積の和が最小となるのは
>針金をどのように分けたときか
⇒ 針金を「同じ長さに分けた時」　または　「2等分した時」

この回答へのお礼

何度もすいません
相加平均・相乗平均がカギのようですね
これはまだやっていないのですが先取りして理解しておこうと思います。
ありがとううございました。

お礼日時：2011/10/13 05:25