QNo.7066405で質問したのですが
解き方のヒントを書いていなかったので再度質問します。
1本の針金がある。これを2つに分けて2つの円周をつくる。
この2つの円の面積の和が最小となるのは、針金をどのように分けたときか。
と問題があります。
この問題の解き方のヒントが「針金の長さをL(正の定数)とおき、2つの
円の半径をx、L-xとおくと計算が大変になる。そこで2つの円の半径を
x、yとおくと針金の長さは2πx+2πyで表される。
これを4πL(定数)とおいて計算するとよい。」書かれています。
このヒントを用いた解き方をおしえてください。
No.1
- 回答日時:
2つの円の半径をx、y(x>0, y>0) とおくと針金の長さは
2πx+2πyで表される。
2πx+2πy=4πLと置くと
x+y=2L …(★)
この時2つの円の面積の和Sは
S=πx^2 +πy^2=π{(x+y)^2 -2xy}
(★)を代入
S=π(4L^2 -2xy) …(☆)
x>0,y>0なので相加平均・相乗平均の関係より
√(xy)≦(x+y)/2 (等号はx=y=Lの時成立)
=L (∵(★)を代入)
xy≦L^2
xy>0より
-2xy≧-2L^2 (等号はx=y=Lの時成立)
この時(☆)は
S≧π(4L^2 -2L^2) (等号はx=y=Lの時成立)
=2πL^2
したがって
x=y=Lの時 2つの円の面積の和の最小値は 「2πL^2」
>この2つの円の面積の和が最小となるのは
>針金をどのように分けたときか
⇒ 針金を「同じ長さに分けた時」 または 「2等分した時」
何度もすいません
相加平均・相乗平均がカギのようですね
これはまだやっていないのですが先取りして理解しておこうと思います。
ありがとううございました。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
単純な2次関数の問題。
x+y=2L ‥‥(1)だから S=π(x^2+y^2)‥‥(2).y=2L-x>0より 0<x<2L。
x^2+y^2=x^2+(2L-x)^2=展開して平方完成すると=2(x-L)^2+2L^2 これを 0<x<2L の範囲で考えると、最小値はx-L=0 のときに 2L^2。
よって、求める最小値は(2)から 2πL^2 で それを与えるのは (1)より x=y=L の時。
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