パスカルの三角形 二項定理

数学の二項定理の問題なのですが・・

（２ｘ＋３ｙ）＾８　[ｘ＾６ｙ＾２）

という問題の解き方が理解できません。
学校の先生に聞いてみたんですけど
その後自分で解いたら理解できてなくて・・

先生に聞けばいい話なのですが
月曜日定期テストで講師の先生なので
学校に来ないので聞けません。

なので教えてください。


パスカルの三角形のｎ＝８は
１　８　２８　５６　７０　５６　２８　８　１

で上の問題を解くと

２８×２＾６×３＾２　という計算式になるのですが

どうして２８という数字が出てくるんですか？

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/10/24 15:07

この質問は、次のようにも表現できます。

（ｘ＋ｙ）^8を完全に（つまり、すべての係数が１となるように）展開すると、（ｘ＾6）（ｙ＾2）という項が28個出てくるのはなぜですか？

答：（ｘ＋ｙ）^8を完全に展開すると、2＾8個、すなわち128個の項ができます。この128個の項をずらりと並べるよりも、同類項ごとにまとめるほうが分かりやすいですよね。そこで、128個の中で、xが6個（つまりｙが2個）のものが何個あるか、という問題を考えるわけですｌ。
これは「8個中6個（2個でもよい）を選ぶ組合せ」＝8Ｃ6（8Ｃ2でもよい）＝28となります。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/10/22 17:39

こんばんわ。

三角形をいつも書いていると大変ですよね。
もう少し「式が展開」される様子を思い浮かべてみると・・・

(2x+ 3y)^8は、当然のことながら 2x+ 3yを 8回かけた（8乗）したものです。
(2x+ 3y)^8＝ (2x+ 3y)(2x+ 3y)(2x+ 3y)・・・(2x+ 3y)

右辺を展開することを考えたとき、たとえば x^8の項であれば
・1番目のかっこから 2xを選び、
・2番目のかっこからも 2xを選び、
・3番目のかっこからも 2xを選び、
・・・
・8番目のかっこからも 2xを選ぶ

とすることで、(2x)^8＝ 2^8* x^8＝ 256* x^8となります。


そして、x^6* y^2のときは、
「8つのかっこのうち 6つから 2xを選び、残り 2つは 3yを選ぶ」

と考えることで、その係数が求められます。
これは「8つのものから 6つを選ぶとき（or 2つを選ぶとき）の選び方」
を表しています。

選び方の場合の数は、8Ｃ6とおり or 8Ｃ2とおりとなります。
ただ、選んでいる項自体に 2xや 3yと係数がついているので、答えは
8Ｃ6* (2x)^6* (3y)^2

の係数となります。

No.3 回答者： ZET235711 回答日時： 2011/10/22 16:53

一般的に表すと，

(ax + by)^n = (k=0→n)Σ nＣk (ax)^(n-k)(by)^k
n=8なので，
(ax + by)^8 = (k=0→8)Σ 8Ｃk (ax)^(8-k)(by)^k
単純なものから考えましょう．
(x + y)^2 = x^2 + 2xy +y^2
これは，二項定理を用いると，次のようにも表せます．

(x + y)^2 = 2C0 x^2 + 2C1 xy + 2C2 y^2

(ax + by)^2 = 2C0 (ax)^2 + 2C1 (ax)(by) + 2C2 (by)^2

つまり，(ax +by)^8を展開すると，
(ax +by)^8
= 8C0{(ax)^8}{(by)^0} + 8C1{(ax)^7}{(by)^1} ＋・・・・＋8C8{(ax)^0}{(by)^8}

もうお解りのように，8Cn(ax)^(8-n)}{(by)^n}
となっています．
a=2,b=3という条件で，
(x^6)(y^2)の係数を求めたいので，
((2x)^6）(3y)^2)の係数として計算しなければなりません
その係数は，パスカルの三角形より，２８です．
8C2((2x)^6)((3y)^2)
=28×((2x)^6)((3y)^2)　｛∵8C2=(8*7)/(2*1)=28　｝
=28×(2^6)(3^2)(x^6)(y^2)
つまり，(x^6)(y^2)の係数は，
28×(2^6)×(3^2)を計算すれば良いというようになります．
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8C2という記号を使っていますが，結果は同じになります
もし，『(ax+by)^100で，(x^68)(y^32)の係数を求めよ』となると，パスカルの三角形だけでは，恐ろしく時間を使います．
例え，パスカルの三角形を１０００乗まで暗記しても全く無意味なのです．
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以上です．

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/22 16:17

28は　2項係数（組合せ）8C2からきています。

　8C2=8!/(2!6!)=8*7/2=28

No.1 回答者： noname#158634 回答日時： 2011/10/22 16:12

えーと。

つまり「(2x+3y)^8においてx^6y^2の係数は？」という問題だということですよね？

「パスカルの三角形」自体は理解できていますか？これは(a+b)^nのときの各項の係数の並びですよね。
n=8でいうと、「1、8、28、56、70、56、28、8、1」ですから、
(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b+ 28a^6b^2 …
となります。
x^6y^2は7項めにきますからパスカルの三角形では7つ目の「28」にあたります。
なので
28×(2x)^6×(3y)^2
となるわけです。