電磁気学　ガウスの法則

Question

微分系のガウスの法則について質問があります。

点電荷が置かれているときに電場は距離、1/r^2に比例して減少しますよね。
電荷が置かれている点からRだけ離れた位置でガウスの法則を適用すれば、
電荷密度は0、よって電場の発散も0のはず。
これは電場が1/r^2に比例することに反しませんか？

1次元で考えると1/x^2の微分は明らかに0ではないし、
2次元で考えて発散を計算しても0にはならないはずです。
どこが間違っているのでしょか？

heboiboro · Accepted Answer

> 1次元で考えると1/x^2の微分は明らかに0ではないし、
> 2次元で考えて発散を計算しても0にはならないはずです。
実際に3次元では計算してみましたか？
次元が変わっても大して変わらない気がしてしまいますが、実際に計算してみると異なった答えが出てきます。

電場の大きさは 1/r^2 に比例しますが、その向きは動径方向の単位ベクトル r↑/r で表されるので、
結局電場はベクトルとして r↑/r^3 に比例します。
ですから、たとえばx成分は x/r^3 です。
これから発散を計算すると、ちゃんとゼロになります（実際には、三次元極座標を使って計算した方が楽ですが）。

cozycube1 · Answer

ある3次元領域について、積分形式のガウスの法則（領域内の電荷の総和＝電荷密度の体積積分が、領域の電束の面積分に等しい）について、その領域の体積変化率に対する電束の変化率で表すのが、微分形式のガウスの法則ですね。

これの電束密度をDと書くなら、その発散がdivDで、これがその領域の電荷密度ということなわけで。ですから、ある3次元領域で考えているのだから、あくまでも対象はその領域全体ですよね。でも、それについて、

>点電荷が置かれているときに電場は距離、1/r^2に比例して減少しますよね。

と、内部の点電荷に注目してしまうと、微分形式の前提としてあったはずの、最初に考えた3次元領域での積分形式のガウスの法則からやり直しになると思うのですが。

そして、対象を点にしてしまうと、3次元領域内という見方を止めることになり、その体積が0で、面積も0になり、すると積分形式のガウスの法則が適用できず、その先の微分形式のガウスの法則自体が考えられないのでは？

rnakamra · Answer

3次元球面の表面積はr^2に比例する。
このため方向によらないポテンシャルを持つ場がガウスの法則に従うとき、3次元では場の強さは1/r^2に比例するのです。
あくまで3次元において成り立つことであり、1次元や2次元では成り立ちません。

heboiboro · Answer

> ちなみに極座標で
> divA=(1/r^2)d/dr(r^2A(r))+(1/rsinθ)d/dθ(sinθA(θ))+(1/rsinθ)dA(φ)/dφ
> から、D(r,θ,φ)=q/r^2を使って発散を計算しようとすると1,3項目は定数の微分で0となって、
> 2項目が残ってしまうのですが何を間違えているのでしょう？

このdivの表式で、 A(r)と書かれたところにはベクトルAの動径方向成分が、A(θ)と書かれたところには極角方向成分が、A(φ)と書かれたところには方位角方向成分が入ります。
原点に置かれた点電荷により形成される電場は、動径方向成分しか持ちませんので、A(θ)=A(φ)=0です。
そのため、第二・第三項は消えてしまいます。
（ご質問文の D(r,θ,φ)=q/r^2 と書かれているのは、動径方向成分ですね）

電磁気学 ガウスの法則

> 1次元で考えると1/x^2の微分は明らかに0ではないし、

この回答への補足

3次元球面の表面積はr^2に比例する。

> ちなみに極座標で

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