導体の電子分布 / 空洞のある導体に電荷を置く

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質問者：jeccl
質問日時：2011/11/03 16:43
回答数：4件

こんにちは、二つお伺いします。
絵を用意したのですが、アップして画質が落ちることがよくあるようなので、その場合はご了承下さい。

質問1
導体内部は電場がゼロである、と理解しております。たとえ、導体内部に空洞があっても、空洞での電場もゼロ、そして導体がどんな非対称な形状をしていようともやはり、導体内部、空洞でも電場はゼロと理解しております。これは、導体の自由電子が、そうなるように（導体内部、空洞での電場がゼロとなるように）動き、配置されたがために起こると考えておりますがいかがでしょうか。すると、非対称な形状の場合、あるところでは電子の密度が高く、あるところでは低い、という偏った電子分布になると考えているのですが、正しいでしょうか。

質問2
導体の内部に空洞があり、その空洞内に電荷をおきます。この場合でも、導体内部の電子が動き、最終的には、導体の内部と空洞内の電場がゼロになるのでしょうか。それとも、内部、または空洞内のいずれか、もしくは両方の電場はゼロにはならないのでしょうか。

質問2のきっかけはある問題集の例題です。その内容も添付の絵に示させて頂きました。
内容は、「二つの導体球がある。ひとつは空洞であり、空洞内にもうひとつの小さな導体球がある（二つの球体は中心を共有している）。その中心から8cmの距離にある点Pでの電場が15000 N/C（方向は中心向き）であった。このとき、小さな導体球の総電荷Q1と、大きな導体球の空洞の内壁表面の総電荷量Q2を求めよ。（注意）Q2は、内壁表面の電荷量であって、大きな導体球の総電荷量ではない。」

というものです。この問題を見たときに、まず、質問2にて申し上げた、「導体の空洞では電場は0」という安直に覚えていたものが崩壊しました。どうやら「導体の空洞では電場は0」というのはあくまでその空洞に電荷が無い場合のことのようだと、今では理解しております。

そして、この例題の解答は、次の通りでした。
「導体の空洞では電場は0」にも関わらず、小さな導体球が存在することよって、P点の電場が形成されている。半径8cmのガウス面を考える。すると
電場 = ガウス面内の総電荷量 Q /(ガウス面の面積 4πr^2 x 誘電率ε) ・・・・(1)
よりもとまる、QがQ1となる　（ただし、電場の方向から考えて、Q1は負の値）

一方で、「導体の内部の電場は0」である。大きな導体球の内部を通るガウス面を考える。(1)において、電場 = 0を代入すると、このガウス面内の総電荷量は正味ゼロとならなければならない、したがって、Q2はQ1と正負符号逆で絶対値の等しい値、つまり-Q1、となる。

この解答方法が引っかかりました。Q1を求める前半の解説では、小さな導体球によって、空洞内の電場はゼロではなくなっている、としているのにも関わらず、Q2を求める後半の解説では、小さな導体球の影響など触れもせず、「導体内部の電場は0」としてしまっております。なぜ、小さな導体球に影響を受けて、空洞で電場は生じるのに、大きな導体球の内部に電場が生じないのでしょうか。

文章が分かり難いようでしたら、書き直しますゆえ、お知らせ下さい。
どうか宜しくお願い致します。

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回答 (4件)

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No.1ベストアンサー

回答者： yokkun831
回答日時：2011/11/03 17:45

質問１

すべてお考えのとおりです。

質問２

このとき，空洞内の電場はゼロになりません。空洞内の電荷を包むようにガウス面を考えれば，そこを内部の電荷に対応する電気力線が通過しているはずですね？　それでもなおかつ，導体内部は電場ゼロになるように自由電子が再配置します。したがってこのとき，空洞の内壁に電荷が生じることになります。空洞内電荷をQ>0 とするとそこから出た電気力線は，導体の内壁で終わらなければならないので，空洞の内壁に生じる電荷の合計は-Qになるのです。このあたりは，ガウスの法則の図形的な（電気力線の）イメージを活用することで，計算以前にたちどころに理解されるべきことです。この「イメージ」こそがガウスの法則の「強み」なのですから。

導体球内部が電場ゼロになるのは，静電場では強い要請です。導体球内部にある自由電子の数は，静電誘導によって尽きることはありません。外部電場がいくら強くても，力を受けた電子が移動することによって電荷が偏り，内部は電場ゼロになるのです。今，一瞬内部に電場ゼロでない領域が生じたとします。すると，その領域にある電子は動かされますね？　たちどころに電子が動いてその領域は電場ゼロにならざるをえないのです。

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この回答へのお礼

いつも丁寧にご説明頂きありがとう御座います。

（１）導体内部の電場をゼロにするように自由電子が移動することは起きるが
（２）導体内の空洞の電場をゼロにするように自由電子が移動することはおきない

ということかと思うのですが、なぜこうなるのか、yokkun831様の回答から得た私の理解を述べさて下さい。

（１）について。電場が導体内部に存在するとそれによって自由電子が力を受けて
移動してしまう。移動がすべて止まるには（平衡に達するには）、電場が無いという状態になるしかない。
（２）について。導体内部の空洞に電場があっても、それによって導体内の自由電子が力を受けるわけではないため、自由電子が移動する理由が無い（ドライビングフォースがない）。しかし、空洞内に電荷があるとその電荷が導体内に電場を作ろうとする、しかしすると自由電子が力を受けて移動を始める。自由電子の移動が終わるのは（平衡に達するのは）、導体内部の電場がゼロになるように自由電子が分配されたときであり、やはり結局のところ導体内部の電場はゼロとなる。このとき、空洞内の電場がゼロになる（ことはあるかもしれないが）とは限らない。

いかがでしょうか。
電磁気は目に見えないものを扱うことが多く、また積分を使う機会が多く、私の理解が足りないかもしれませんが、どうぞ宜しくお願いします。

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お礼日時：2011/11/07 20:08

No.4

回答者： yokkun831
回答日時：2011/11/07 21:05

>いかがでしょうか。

>電磁気は目に見えないものを扱うことが多く、また積分を使う機会が多く、私の理解が足りないかもしれませんが、どうぞ宜しくお願いします。

ほぼ完璧な理解をされていると思います。ガウスの法則は図形的イメージを豊かに持てば，大変わかりやすく納得のいく法則です。源（source）である電荷から力線が生じて，その力線密度に応じた電場（field）ができる。力線は正電荷から出て必ず負電荷に入る…等々。力線はファラデーの「発明」ですが，ファラデーが数学的な技巧を弄せず（というより知らなかった？）力線のイメージだけで現在に通用する場の法則をおおまかながら正しく認識していたことは驚きに値します。

さらに，電荷と場の重ね合わせの原理を使いこなせると，さらに理解が深まると思います。導体内の空洞に電荷があるとき，導体内外にできる電場は，空洞にある電荷のつくる場と導体に生じる誘導電荷のつくる場の重ね合わせになります。その結果導体内部のみ電場はゼロになります。

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この回答へのお礼

更なるご返答、ありがとう御座います。こうして確認して頂けると安心します。
回答者様にはこれまで何度も助けて頂きました。

電磁気については、いくつか不明な点が残っており、なるべく自分で考えておりますが、力学と異なり、解答・考えが本当にあっているのか、確認できない、想像できないところが電磁気の辛いところであり、苦手意識をもつ理由ではないかと思います（力学は肉眼で確認できることが多く、計算や解答は、日常の現象の確認をする、という傾向があるように思います）。恐縮ながら、これから、同時に何度もご質問させていただくこともあろうかと思いますが、どうぞ宜しくお願い致します。重ねましていつもありがとう御座います。

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お礼日時：2011/11/07 21:28

No.3

回答者： heboiboro
回答日時：2011/11/04 01:59

すいません、#2で「導体内の任意の位置に電荷が固定されている場合には、必ずしも正しくありません」などと書いてしまったのですが、これは私の勘違いでした。

その場合でも自由電子がそこに集まって電場は打ち消されますね。
訂正します。

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この回答へのお礼

ありがとう御座います。助かりました。

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お礼日時：2011/11/07 20:09

No.2

回答者： heboiboro
回答日時：2011/11/03 17:59

まず、前提として、導体内の電場は、静的な状態においてはゼロになります。

これは、導体の性質から導かれる、基本的な性質です。
（ただし、導体内に電荷が自由電荷しか存在しえない場合の話であって、導体内の任意の位置に電荷が固定されている場合には、必ずしも正しくありません。以降、そのようなことはないとします）

さらに、一般に、「ある領域内に電荷が存在せず、またその全ての境界上で電位が一定ならば、その領域内での電場はゼロである」ことが示せます。
これから、単一の（繋がった）導体で囲まれた空洞内に電荷が存在しないならば、静的な状態においてその空洞内の電場はゼロであることが分かります。

> 小さな導体球によって、空洞内の電場はゼロではなくなっている、としているのにも関わらず、Q2を求める後半の解説では、小さな導体球の影響など触れもせず、「導体内部の電場は0」としてしまっております。なぜ、小さな導体球に影響を受けて、空洞で電場は生じるのに、大きな導体球の内部に電場が生じないのでしょうか。
静的な状態では導体内に電場は生じていない、というのは、導体の性質から導かれる事実であり、常に成り立ちます。
一方で、導体に囲まれた空洞内の電場がゼロになるためには、上に述べたような条件が必要になります。
この場合では、空洞の内側の境界と外側の境界とで電位が異なるために、上で述べた「全ての境界上で電位が一定である」という条件を満たしていませんので、空洞内に電場が発生しえます。
逆に言えば、空洞内に電場が発生していることから、二つの導体球の電位が異なると判断できます。

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この回答へのお礼

丁寧にご説明頂きありがとう御座いました。私の理解を助けていただきました。

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お礼日時：2011/11/07 20:09

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Aベストアンサー

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そうすれば，一方の極板には +Q の電荷が，もう一方の極板には -Q の電荷が，
それぞれ存在することになります．

上の孤立球の問題も，無限遠から孤立球に電荷 Q を移したと考えればよろしい．
そうすると，孤立球に +Q の電荷があるわけで，無限遠との電位差 Q/4πε_0 a から
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さて，今の問題で内球を接地したというのは内球と無限遠を導線でつないだ，
つまり内球と無限遠との電位差を同じにしたことを意味します．
で，上の解釈に従えば，内球と無限遠から外球(正確には外球殻)へ電荷 Q を移すことになります．
外球殻には内側表面に電荷に +Q' ，外側表面に +Q'' が分布します．
記号は引用された
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html
に従っています．
内球には -Q'，無限遠には -Q'' があることになりますが，
Q' と Q'' の割合は２つの電位差，すなわち外球殻と内球の電位差，および外球殻と無限遠の電位差が
等しくなるように決まります．
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電位は同じでないといけないのです．
もし，内球からのみ電荷を外球殻に移しても，
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電荷は自由に行き来できるので，
上の条件に従うように勝手に電荷が移動します．
引用された inara さんのご回答はこうやって Q' と Q'' を決めています．

図で表すなら

　　　　　　　　　　│
　　　　　　┌───┴───┐
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　│　　　　　　　│
外球殻内側─┴─　　　　　─┴─外球殻外側
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　内球─┬─　　　　　─┬─無限遠
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　└───┬───┘
　　　　　　　　　　│

と思えばよいでしょう．
実際，求めた容量は２つのコンデンサーの容量を合成したものになっていますので，
それもご確認下さい．

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eatern27 さん：
> 半径a,b,cの球殻が３つあるという事でいいですか？

半径 a の導体球(中まで詰まっている)と
内径 b ，外径 c の導体球殻という系のことでしょう．
すなわち，0<r<a の部分と b<r<c の部分が導体です．

> そして、r>vにおける電界を考えると、
> 内側の電位の合計「Q1+Q2」の点電荷が球の中心にあると考え
> E=(Q1+Q2)/(4πεr^2)[V/m]によって求めることができるのでしょうか。

そうはなりません．
球殻を接地したのですから球殻の電位はゼロ，
球殻と無限遠の間の電場はゼロのはずです．
つまり，問題の前半の答は計算するまでもなく明らかでした．

多少詳しく見てみます．
まず，導体内では電場はゼロですから
0<r<a と b<r<c では E=0 です．
内側の球に与えた電荷 Q1 は導体表面に均等に分布します．
したがって，a<r<b では Gauss の法則からわかりますように，
電場は E=Q/4πεr^2 です．
Q1 の電荷が中心にあるように見えます．

次に，外側の球殻に与えた電荷は導体表面に分布するのですが，
球殻内側と無限遠に分かれて分布します．
外側球殻を接地していますからこうなります．
もし設置していなければ，内側表面(r=b)と外側表面(r=c)に分かれて分布します．
さて，半径 r が b<r<c であるような球面に Gauss の法則を適用してみます．
導体内では電場がゼロですから当然電場の面積分もゼロです．
これが半径 r の球内の電荷総量の 1/ε に等しいというのが Gauss の法則ですから，
半径 r の球内の電荷総量はゼロです．
内側の球に Q1 だけ電荷が分布しているのですから，
球殻の内側表面(r=b)には -Q1 だけの電荷が分布していないといけません．
球殻には Q2 の電荷を与えたのですから，
Q2+Q1 だけどこかにないといけないわけで，
Q2+Q1 は接地した線を伝わって無限遠まで逃げていきます．
つまり，球殻外側表面(r=c)には電荷はありません．

今度は r>c の球面に Gauss の定理を適用します．
内部の電荷総量はゼロですから，電場もゼロです．
導体球殻と無限遠とは同電位ですから(接地！)，
その間で電場が存在しないのは当然です．
これは最初に述べました．

まとめますと，
0<r<a では E=0
a<r<b では E=Q/4πεr^2
b<r　　　　E=0
です．

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もし，外側の球殻を接地していなければ以下のようになります．
今度は導体球殻外側表面(r=c)に Q2+Q1 の電荷が均等に分布します
(つまり，接地していないので，これ以上遠くに逃げられない)．
r>c の球面に Gauss の定理を適用したときに，
内部の電荷総量は Q2 になりますから
0<r<a では E=0
a<r<b では E=Q1/4πεr^2
b<r<c　　　E=0
c<r　では E=Q2/4πεr^2

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電場がわかれば電位の計算は大丈夫ですよね．
それから，電荷 Q1=5*10^-10 などに単位が抜けていますね．