コンデンサの片側板の電荷分布 / 球状導体の分極

Question

こんにちは、導体での電荷分布についてお伺いします。
大きく分けて二つの状況、質問事項は三つ御座います。宜しくお願いします。
添付の図を併せてご覧頂ければと思います。

１）帯電したコンデンサの極板での電荷分布
図の通りですが、よくコンデンサが帯電した際の電荷分布が模式的に表され、片方がプラス、もう片方がマイナス、というシンプルに表示されています。これをもっと細かくみるとどうなるでしょうか。つまり、たとえばプラスに帯電している極板に注目した場合、最前線の表面（つまりマイナス側の極板と対峙している面）では、もちろんプラス電荷が占めていると思います。この面から段々離れていくことを想定して下さい。
プラス電荷の密度は変わりますでしょうか。つまり、最前線の表面がもっとも高く、段々と低くなっていくという想像が働きますが、いかがでしょうか。しかしそれでは、連続した導電体の電位はどこも等しいという原則に反するかと思いますが、どうでしょうか。どういった電荷分布となっているのか、そしてその理由は何か、というのが私の悩んでいる点です。

２）導体の球がありあます。始めはニュートラルな状態です。これを外部から電場を与えて外側（表面）をプラスに帯電させたとします。

2-1）この件に関して、ひとつ言葉の問題になりますが、外部から電場を与えて帯電させた、というのは正しくない気がします。厳密には分極ではないでしょうか。「帯電」と「分極」の言葉の違いですが、
前者は電荷を注入することかと思います。この場合、その注入された物体の正味の電荷はプラスまたはマイナスのどちらかに偏ると思われます（もちろん、プラスを注入されたらプラス）。後者、「分極」は正味の電荷はゼロかと思います。これはもともとニュートラルなものをたとえば、左側だけプラスにして、その結果反対の右側ははマイナスになった、という状況かと理解しています。いかがでしょうか。この理解が正しいとすると、（２）の文章は厳密には、「２）導体の球がありあます。始めはニュートラルな状態です。これを外部から電場を与えて外側（表面）をプラスに分極させたとします。」ではないでしょうか。

2-2）
(2)の状況において、はじめニュートラルの状態から電荷を注入したのではなく、偏らせただけなので、正味の電荷はゼロにならなければなりません。すると、今表面が正に帯電しているとすると、負の電荷はどこにいくでしょうか。想像としては、中心、かと思います。ただ、これが正しいということを証明するにはどうしたらよいか悩んでおります。数式できちんと示せれば嬉しいのですが、いかがでしょうか。

heboiboro · Accepted Answer

> このリンクのように、いわゆる球状コンデンサーというものが典型問題としてよく出されるようです。
> この球状コンデンサの状況と、回答者様の想定されている状況の違いが理解できずにおります。
>http://butsuri.fc2web.com/electro/1-06.html
すいません、少し言葉が足りなかったみたいです。
「球全体に均等に電場をかけることができない」と書いたのは、球の表面及び内部にある総電荷がゼロの場合のことです（重要な条件なのに、これを書き忘れていました）。
お示しいただいたURLの球殻はどちらも帯電していますので、均等に電場がかかりえます。

ここで、もしかしたら、「外から電場をかけることを考えるだけなら、球内に電荷があるかは関係ないのではないか？」とお考えになるかもしれません。
これはある意味では正しいです、というのは、同心球コンデンサの内側球殻に外からかかっているように見える電場は、実際は外側球殻が内側球殻を引っ張っているのではなく、内側の球殻自身が持つ電荷により生じている電場だからです。
同心球コンデンサの作る電場を、外側の球殻によるものと内側の球殻によるものに分けて考えてみましょう。
外側球殻は外側球殻の外側にしか電場を作らず、内側球殻も内側球殻の外側にしか電場を作りません。
外側球殻の外側ではこの二つの電場が打ち消しあい消えてしまって、内側球殻と外側球殻の間の部分にだけ、内側球殻の電荷により発生した電場が、残ります。
こう考えると、内側球殻にかかっている電場は内側球殻自身により発生したものであり、もし内側球殻が帯電していなかったら、内側球殻に電場がかからないことが分かると思います。

このように、球表面に均等に電場がかかるときというのは、その電場は必ずその球の持つ電荷から生じています。
ですから、電荷がない場合は、球表面にいたるところ同じ方向に電場がかかる、ということはありえません。

> 『電気力線を考えれば分かりやすいですが、電気力線は電荷がないところで途切れないので、全方向から電気力線が入ってきたら中で行き詰まってしまいます。』
> すみません。これについてもう少々議論を頂けないかと思います。
> 回答者様の仰っている状況がイメージできず、もう少々ご説明頂ければと思いますが、いかがでしょうか。
実はイメージを説明するのは苦手で；；分かりづらくなっていたかもしれません。
えっと、結局はガウスの法則と同じです。球表面に（たとえ一様でなくても）どこも内向きに電場がかかっているなら、必ず球内部にそれ相応の電荷がなければなりません。
私が言いたかったのは、球表面（絵に描くなら円でいいですが）のいたるところで内側を向いていながらも「電荷のないところで途切れない」という性質を満たすような電気力線は決して作図できない、ということです。
（球内部の電荷分布がいたるところゼロの状態を考えています）

> プラス電荷が生じている、すぐ次の層に負電荷を配置することで、内部に電場が生じない状況をつくることができそうですが、
> いかがでしょうか。「すぐ次の層」という曖昧な表現で恐縮ですが、電気二重層のような状況とお考え頂ければと思いますが、この考えではいかがでしょうか。
これは、多分駄目だと思います。
まず、電荷分布が同心球コンデンサと同じなので（電荷密度が角度方向に一様とした場合の話ですが）、結局この電荷分布の作る電場は二つの層の間の微小厚さの領域だけにしか存在しませんね。
これでは、外からの電場を打ち消すという役目を果たすことは叶いません。
もう一つ、いまは同心球コンデンサの場合と異なり、内側の薄膜上の負電荷を繋ぎとめておく力がないので、微小距離だけ離れて留まっていることはなく、正電荷にくっついてしまいます（正確に言えば、外側の正電荷球殻により内側に生じる電場はゼロなので、これは正電荷からの力ではなく、負電荷同士の反発力によります）。

semikuma · Answer

１）
物質の中には電子がうじゃうじゃいて、その電子分布がほんの少し偏ることで電荷が生じることを忘れないでください。
物質に電界を印加すると、電子分布に偏りが生じて、電界を緩和しようとします。
誘電体の場合は電子が移動できる範囲が限られているので物質内部に電界が残りますが、金属の場合は自由電子が文字通り自由に動けるので、電子1個の層で完全に電界を緩和します。
だから連続した導電体の電位はどこも等しくなります。
従って答えは、電荷は電極の極表面に集中しており、その厚さは電子軌道1個分程度と思います。
面内分布は、印加した電界強度に応じて増減します。

2)
「『電界により』金属表面を帯電させる」という状況が理解できません。
まあ、無理やり周囲に負電極を並べて電界を印加したとしても、あなたが言う「分極」が生じるだけで、電界を取り去れば電荷が元に戻るので、これは「帯電」とは言わないでしょう。
もしこの状況を言っているのなら、余分な電子は金属球の中心に集まることになります。
本当に帯電させたいなら、この中心に集まった電子を取り除いてやる必要があります。

Quarks · Answer

後半について。
　
たとえば、導体球に負に帯電した物体を近づけ（電場を掛けた）、導体球に手を触れて負の電荷を逃がしてから手を離し、帯電物体も離した。こうすれば、導体球は、表面に正電荷を持った状態になります。　これはまさに、帯電した状態です。このような事態を言っているのではありませんか？
　
そうではなく、導体球の外側に　負に帯電した球殻を持ってくるようにして電場を掛けたとすると、質問者さんが想定しているような状況になることでしょう。この場合の、（外部に逃げることができずに、導体球の内部に押しやられた）負電荷の行方ですが、中心の１点に集中していると考えることになるでしょう。
　
中心の、大きさのない、まさに"点"に電荷がある状態とはどんな状態なのか？　物体は原子からなるので、中心にある原子が一手に全負電荷を担うことになるのでしょうか？　それは無理なことです。原子よりは大きいだろうような、或る半径以内の有限な体積の空間内に、負電荷が集中している状態が実情です。では、その限定された空間内には電位差が生じているのか？　そのとおりです。電位差によって原子の構成粒子は力を受けていることでしょう。それではなぜ動かないのか？　電場内で電荷が電気力を受けて動くというとき、自由な電荷を前提にしていたことを思い出しましょう。陽子にせよ電子にせよ、物体内部にあっては、完全に自由とは言えません。電気力以外の力も受けて、"釣り合い"の状態を保っているはずなのです。
このようなことは、静電場を考えるときには"余計な"事情なので、中心の１点に負電荷が集中している状態を想像するだけなのです。　
　
導体球・導体板の表面に負電荷(または正電荷)が集中している場合も、似たような状況に在ると考えた方が良いでしょう。
　
ちなみに、導体とは、理想的には∞のキャリヤを持つ物体とされていますが、現実の金属などの導体では、全原子が持つ全電子の電荷の総量以上のキャリヤは存在しませんから、とてつもない巨大な電場を掛けたときには、金属と言えども、内部の電場を０にすることはできないこともあるはずです。まあ、そんな強力な電場って、作れないのではないかと思いますけどね。

heboiboro · Answer

後半なんですが、（少なくとも理想的な導体を考えている限り）中心に電荷が溜まる、というのはまずいです。
明らかに、そうすると導体内に電場が生じてしまうからです。
静的な状態では導体内に電場はありません。

そもそも、球表面に均等に電場をかけることはできません。
電気力線を考えれば分かりやすいですが、電気力線は電荷がないところで途切れないので、全方向から電気力線が入ってきたら中で行き詰まってしまいます。
たとえばその球を、負に帯電したさらに大きな球殻で囲んでも、ご承知のように球殻内部の電場はいたるところゼロですので、不可能です。
球殻を歪めても駄目です。

そうではなくて、球表面の一部に負電荷を近付けたとします。
すると当然、その近くの表面には正電荷が現れます。
しかし同時に、その反対側の表面に負電荷が現れることで、プラマイゼロになります。

結局、静的状態において導体球中心にゼロでない電荷が溜まっていることはありません。

Quarks · Answer

ANo.2です。

>これについて、他の回答者様にもお伝えしたのですが、果たして中心に集まる
>のでしょうか。外側はプラスに分極しているとして、そして負電荷が中心に集
>まった場合、導体球の内部に電場が生じてしまいます。この中心の負電荷を含
>み、半径が導体球より小さい（表面のプラス電荷を含まないという意味ですが）
>任意のガウス面をお考え下さい。どのガウス面からも電気力線が出てしまい、
>すなわち電場が生じていると解釈できます。いかがでしょうか。

スミマセン、そのとおりです。　もう既に解決しているようですが、私の書いた
内容は、上の件については全くの誤りでした。
ANo.3さんも書いておられるとおり、導体球の内部には電荷は存在していませんね。

heboiboro · Answer

> 内側球を無視して、外側球殻に注目します。すると、外側球殻の内側においては、任意の点において、球の対象性から電場は打ち消され、ゼロになる。ということでしょうか。
対称性だけからは言えないと思います。
対称性からは、電場はrだけの関数で書けてかつ動径方向を向いたベクトル場である、ということしか言えません。
対称性とガウスの法則を組み合わせて示すのが一般的だと思います。
（先ほどのURLでも、「球の間以外ではガウスの法則により電場はゼロになる」と書いてありますね）。

> 外側球殻について、殻の厚みがあるとお考えください。電荷は殻の内側壁にのみ存在し、外側壁には存在しないということでよろしいでしょうか。
内側球殻が外側球殻と同量反符号だけ帯電しているときには、正しいです。簡単に言えば、内側球殻の電荷から引力を感じるからです。
もし内側球殻が帯電していないならば、反対に球殻の外側壁のみに電荷が存在します。これも電荷間の反発でイメージできると思います。
いずれにしろ、球殻導体の内部（球の内部という意味ではなくて、厚みのある導体の内部です）で電場がゼロになるように、というルールから配置が決まっていると考えてください。
それぞれの配置のときにどういう電場ができるか？というのは、厚みの無視できる同心球コンデンサの場合と同じように計算できるので、色々考えてみてください。

> もしこれが正しいとすると、平行平板コンデンサにおいても、注入された電荷は二枚の板の間の面、つまり対面している側にしか存在しないということでよいでしょうか。
よいです。

> うーん、しかしすると、各板を個別に考えた場合、各板は導体なのに、導体内部に電場が存在することになってしまいます・・・。
これは違います。
むしろ、対面する面にそれぞれ電荷が集まることで、うまく相手の導体からの電場を打ち消して、厚みのある導体内部には電場が生じなくなります。
平行平板コンデンサの外側では電場はゼロ、というのと全く同じです（というかそのままですが）。向かい合っている側の面に電荷が集まっていたら、それより外側には電場は生じません。

ちなみに、ご質問の画像に書いてあるとおり、このときの極板が持つ電荷は電池から（あるいは近接した導線から）来たものと考えていいと思います。

コンデンサの片側板の電荷分布 / 球状導体の分極

１）

後半について。

後半なんですが、（少なくとも理想的な導体を考えている限り）中心に電荷が溜まる、というのはまずいです。

この回答への補足

ANo.2です。

> このリンクのように、いわゆる球状コンデンサーというものが典型問題としてよく出されるようです。

> 内側球を無視して、外側球殻に注目します。

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