ラプラス変換による回路解析

RC直列回路を２パラでつないだ回路をラプラス変換で解析しているのですが、
次のような形の式が出てきました。(余計な係数は省略してます。)

　　1/(s+A) + 1/{s(s+B)}　　　(A,Bは定数)

この式を逆変換したいのですが、第二項は分母がsでくくられているので
そのまま公式に入れられませんでした。
そこで、ラプラス逆変換の定義式

　　f(x)　＝　(1/2πj)∫F(s)exp(st)ds　　( s：[c+jω,c-jω])

をtで不定積分 (積分定数は0) してみると、

　∫f(x)dt　＝　(1/2πj)∫F(s)exp(st)ds × (1/s)

といった感じでうまいこと分母にsが飛び出してきてくれたので、
これを参考に、先ほどの逆変換も次のように計算してみました。

　L-1[　1/{s(s+B)}　]　　＝　　∫{　L-1　[1/(s+B)]　}dt
　　　　　　　　　　　　　　＝　　∫{　exp(-Bt)　}dt
　　　　　　　　　　　　　　＝　　-exp(-Bt)/B

個人的にはこれで間違っていないような気はするのですが、いきなり積分定数の無い不定積分を使うのは何か気持ち悪いですし、それにこの解法で導かれる答えもどこかしっくりきません。(直感ですが。)

しかし、自分では正解かどうか確かめる術が無いので、もしラプラス変換に詳しい方おりましたらご助言願いたいと思います。宜しくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/12 15:57

惜しいですね。

1/(s(s+B)) = a/S + b/(s+B) と置いて解けば b=-1/B a=1/B。
これなら公式に入れられるので (1/B)(1-exp(-Bt)

分数式の部分分数への展開法を勉強した方がよいでしょう。
http://izumi-math.jp/M_Takahashi/cali/cali1.htm

留数定理とか知っているともちっと楽が出来ます。ではでは

この回答へのお礼

な・・・なるほど・・！その手がありましたか！！
これは巧い・・！

ほんと歳取ると頭固くなってダメですね。
回答ありがとうございました。大変スッキリできました。

お礼日時：2011/11/12 17:48

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2011/11/12 04:15

ANo.1です。

スミマセン・・・表記を間違えました。
Resの前に2πiが掛かります。

(1/2πi)・∮{(1/(s+A) + 1/{s(s+B)})e^st}ds
=(1/2πi)・2πi・[Res(e^st/(s+A)；s=－A) + (Res(e^st/{s(s+B)}；s=0)
+ (Res(e^st/{s(s+B)}；s=－B)]
=[Res(e^st/(s+A)；s=－A) + (Res(e^st/{s(s+B)}；s=0) + (Res(e^st/{s(s+B)}；s=－B)]
・・・です。

この回答へのお礼

了解です！
わざわざありがとうございました

お礼日時：2011/11/12 17:46

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2011/11/12 04:00

別に詳しいわけではないけれど・・・、ラプラス変換を道具として使わせてもらっている立場からで良いのであれば・・・、

ラプラス逆変換をinvL{F(s)}と表す事にすると
invL{F(s)} = f(t) = (1/2πi)・∫[c-i∞,c+i∞]{F(s)・e^st}ds （Jordanの補助定理により閉路積分に直して）
=(1/2πi)・∮{F(s)・e^st}ds
=(1/2πi)・∮{(1/(s+A) + 1/{s(s+B)})e^st}ds
=(1/2πi)・(∮{(e^st/(s+A)}ds + ∮{(e^st/{s(s+B)}}ds)
=(1/2πi)・[Res(e^st/(s+A)；s =－A) + (Res(e^st/{s(s+B)}；s = 0)
+ (Res(e^st/{s(s+B)}；s =－B)]
=(1/2πi)・[2πi・e^(-At) + 2πi・(1/B)－2πi・(1/B)・e^(-Bt)]
= e^(-At) + 1/B－(1/B)・e^(-Bt)
= e^(-At) + (1/B)・(1－e^(-Bt))

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
留数ですか・・こんな素晴らしい手法があったんですね。
この技を習得するために色々教科書探ってたら夜になってしまいました・・・
でもすごく便利な公式な気がするので、いつか時間をかけて習得したいです。

お礼日時：2011/11/12 17:45