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次の問題の解説をお願いします。

座標平面上で,点P(x, y) が -1≦x≦1, -1≦y≦1 を満たしながら動くとき,点Q(x+y, x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ。

X = x+y, Y = x^2+y^2 と置いて,この後の発想が何ともわからなく,,ご教示お願いいたします。

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,""」に関するQ&A: I am a stranger, myself

A 回答 (2件)

X = x+y, Y = x^2+y^2



としたならば,XとYが満たす条件を求めるということです.

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか?

x+y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう.

さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても,この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか?

X=0とかやってみると
x+y = 0
xy = -y^2 = -Y/2
なんだから Y=-10 とかしたらもうアウト.

ということで,X,Yは(A)をみたすようなx,yが存在することが必要十分です.
つまり
ここでさらに考える.
x+y = A
xy = B
という形の連立方程式ってのは
じつは
t^2 -At + B = 0
っていう方程式の解です.

ということで,
t^2 - X t + (X^2-Y)/2 = 0
という方程式が
-1<= t <= 1
の「(重解を含めて)二つの解」を持つ条件を考えればいい.

f(t) = t^2 -X t + (X^2-Y)
とおけば
f(-1)>=0 f(1)>=0
f(X/2) <= 0
-1 <= X/2 <=1
あたりってところかな.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そうなんです,,回答文にある,

>さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど

の考え方が浮かばずに,悩んでいました。
ダメな考え方を一例でも出して頂けると,すんなりと,読めます。

だから,次の発想に行きついたのだと思います。
>t^2 -At + B = 0
でも,よく,このような発想が出てくるものだな――,と感心します。
オリジナルな発想力は,私自身,あきらめますが,
このような,素晴らしいアイディアを数多く学べたらと思います。
ありがとうございます。

お礼日時:2011/11/24 09:28

X=x+y,Y=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2xy


xy=(X^2-Y)/2
x,yは、解と係数の関係から次の2次方程式の2つの解となります。
 t^2-Xt+(X^2-Y)/2=0
この2つの解がx,yなので
 -1<={X-√(X^2-(X^2-Y)/2)}/2<=1 かつ  -1<={X+√(X^2-(X^2-Y)/2)}/2<=1
これを整理すれば
 Y<=X^2-2X+2, Y<=X^2+2X+2, Y>=X^2/2 の共通領域
(3つの放物線Y=(X-1)^2+1,Y=(X+1)~2+1,Y=X^2/2で囲まれる領域(境界線を含む))
が求める点Q(X,Y)の存在領域である。

 図は描けるでしょう。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
Q(X,Y)の存在領域まで導いていただき,助かります。
図は,描くことができました。

お礼日時:2011/11/24 09:29

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Q高校数学 点(x+y,xy)の動く領域は?

娘に質問され、困っています。助けてください。よろしくおねがいします。

問題「実数 x,,y が条件-2≦x+y≦2を満たすとき、点(x+y,xy)の動く領域を求めよ。」

Aベストアンサー

X = x + y
Y = xy
とおく.

与えられた条件から
-2 <= X <= 2. (1)

Y = x(X - x)
 = -x^2 + xX
 = -(x - X/2)^2 + X^2/4.
ここで
-∞ < x < +∞
なので
Y <= X^2/4. (2)

求める領域は,(1)かつ(2)の所.
---

(2)は次のようにしても得られる.

x, y は t に関する2次方程式
t^2 - (x + y)t + xy = (t - x)(t - y) = 0 (3)
の実数解.よって,(3)の判別式 D について
D = (x + y)^2 - 4xy
 = X^2 - 4Y
 >= 0
が成りたつ.
∴ Y <= X^2/4
---

ちょっと自信がありませんので,鵜呑みにしないでください.

Q条件付き極値

教科書の問題で、「α+β+γ=2πのもとで、sinα+sinβ+sinγの最大値を求めよ」というものがあり、答えはα,β,γがともに2π/3のとき3√3/2となるんでしょうが、その途中がわかりません。できるだけ詳しく教えてください。

Aベストアンサー

stomachman恒例の蛇足です。

α、β、γを直交3軸とする3次元空間において、
α+β+γ=2π
は平面をひとつ決める。この平面上に直交座標系、たとえば
x=(√3/2)(β-γ)
y=α-(β+γ)/2
を作ります。するってえと、
x=(√3/2)(β-γ)
y=2π-(β+γ)-(β+γ)/2=2π-(3/2)(β+γ)
ということになりますわな。つまり
α=(2π/3) +(2/3)y
β=(2π/3) +(1/√3)x-(1/3)y
γ=(2π/3) -(1/√3)x-(1/3)y
 このx-y平面上で
f(x,y) = sinα+sinβ+sinγ
がどんな格好になるか。これは3次元の曲面で表せるし、ExcelとかMethematicaでグラフに描く事もできますぜ。滑らかな有界閉曲面であることは自明でしょう。

Q分からないんです!!

高校の宿題なんですけど、
実数x、yがx^2+xy+y^2=3を満たしていて
u=x+y、v=xyとするとき、
1.vをuの式で表す
2.uのとりうる値の範囲は?
3.x+xy+yのとりうる値の範囲は?
一週間ず~っと悩んでるんですけど、1.はかろうじて解けても2.3がまったく分かりません。
ちなみに1.の解は
v=u^2-3であってるでしょうか?

Aベストアンサー

1歩遅かったか・・・

ポイントと回答を載せときます。できればポイントだけ見て自分で解いた方がいいかと。

ポイント
1.v=u^2-3であってます。

2.
x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-(x+y)t+xy=0
は、実数の2解を持たねばならない。(っていうか、実数xと実数yが解)
判別式を取りましょう。
vとuに関する条件式がでるので、1の結果を用いてuだけの2次不等式にできます。解きましょう。

3.
1.の結果を用いてx+xy+yをuだけの式にできます。
2.の範囲での最大最小を求めます。


回答
1.式の変形
与式より
 x^2+xy+y^2-3=0
 (x+y)^2-xy-3=0
 u^2-v-3=0
 v=u^2-3

2.とりうる範囲
u=x+y v=xy 、x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-ut+v=0
は、実数の2解を持たねばならない。(ここ大事)
 D=u^2-4v=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2>=0
 v<=(u^2)/4
この式に1.の結果を代入して、
 u^2-3<=(u^2)/4
 u^2<=4
 -2<=u<=2

3.値の範囲
 x+xy+y=u+v=u^2+u-3=(u+1/2)^2-13/4
従って f(u)=(u+1/2)^2-13/4の-2<=u<=2での増減を調べればよい。(以下省略)

1歩遅かったか・・・

ポイントと回答を載せときます。できればポイントだけ見て自分で解いた方がいいかと。

ポイント
1.v=u^2-3であってます。

2.
x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-(x+y)t+xy=0
は、実数の2解を持たねばならない。(っていうか、実数xと実数yが解)
判別式を取りましょう。
vとuに関する条件式がでるので、1の結果を用いてuだけの2次不等式にできます。解きましょう。

3.
1.の結果を用いてx+xy+yをuだけの式にできます。
2.の範囲での最大最小を求めます。


...続きを読む

Q3次方程式の異なる3つの実数解の範囲を教えて下さい。

3次方程式X^3+(a-2)X^2-4a=0 の左辺は
(X-2)(X^2+aX+2a)と因数分解できる。よって、方程式が異なる3つの実数解をもつようなaの値の範囲は
a<-1、-1<a<0、8<aである。

という問題があるのですが、解き方がどうしてもわかりません。
詳しく教えていただける方、よろしくお願いしてます。

Aベストアンサー

解の一つは2です。こてを頭に入れて
X^2+aX+2a=0
が互いに異なる2つの実数解を持つ条件はD>0ですから
a<0,8<a・・・・(1)
このとき解の一つが2だと2が重解になってしまうので
X^2+aX+2a=0は2以外の解をもつ
調べにくいので2を解に持つときは
x=2を代入するとa=-1これを(1)から除いて
と考えます。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

QQ(p+q, pq)の動く範囲で,y≧0の条件?

ご教示お願いします。

問題:座標平面上の点 ( p, q )は x^2 + y^2 ≦8, y ≧ 0 で表される領域を動く。
点Q (p+q, pq )の動く範囲を図示せよ。

この解答で,X = p+q, Y = pq とおいて,XとYの関係式
X^2 - 2 Y ≦ 8 ・・・・・・(1)
を作り,かつ,
t^2 - Xt + Y =0 ・・・・・・(2)
が実数解を持つことから,この判別式
D = X^2 - 4 Y ≧ 0 ・・・・・・ (3)
までは考えたのですが,
問題にある“ y ≧ 0” をどのように反映させてよいかがわかりません。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No.1の補足についてですが

(p,q)=(x,y)だと固定する必要はありません。
x+yもxyも対称式なので入れ替えてもいいのです。

(p,q)=(0,-1)だとして(2)の解は(x,y)=(1,-1),(-1,1)が存在するわけですが
Qの領域としては(x,y)=(-1,1)がy>=0の領域に含まれるために
対応する(p,q)=(0,-1)は、y>=0という領域からの像に含まれていることが分かります
p-q平面の各点は2つのx-y平面の各点が(二つの解がある範囲で)二つずつ対応するのだと思います

2次式t^2-Xt+Y=0が(0を含む)正の解を持つ条件は
1)t=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y<=0(正と負の解の場合)
2)軸が正でt=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y>=0(正の解二つの場合)
となります

Q点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。について

チャートにも載っている(数IIB例題103)有名問題ですが、

実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。

というものですが、

解答
X=x+y, Y=xyとおく。
x^2+y^2≦1から、(x+y)^2-2xy≦1
よって、X^2-2Y≦1
ゆえに Y≦(X^2/2)-(1/2) ---(1)

までは分かるのですが、
ここで、

また、x,yは2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0
すなわちt^2-Xt+Y=0 ---(2) の2つの実数解であるから、
(2)の判別式をDとすると
D=X^2-4Y≦0

と、全く関係ないtや、2次方程式が出てくるのか分かりません。
「解説には、x,yは実数であるから、点(X,Y)の領域に制限がつく。
x,yを解とするtの2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0すなわちt^2-Xt+Y=0において、
解x,yは実数であるから 判別式D=X^2-4Y≦0 」
とありますが、X,Yと置き換えから、x,yから来る制限は理解できますが、突然tの二次方程式が何故出現するのか分かりません・・・

どなたかよろしくお願い致します。

チャートにも載っている(数IIB例題103)有名問題ですが、

実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。

というものですが、

解答
X=x+y, Y=xyとおく。
x^2+y^2≦1から、(x+y)^2-2xy≦1
よって、X^2-2Y≦1
ゆえに Y≦(X^2/2)-(1/2) ---(1)

までは分かるのですが、
ここで、

また、x,yは2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0
すなわちt^2-Xt+Y=0 ---(2) の2つの実数解であるから、
(2)の判別式をDとすると
D=X^2-4Y≦0

と、全く関係ないtや、2次方程式が出て...続きを読む

Aベストアンサー

本質ではないのだが
問題と解答が一致しないのだが
どっちがただしいんだい?

別に二次方程式じゃなくたっていい.
単に,x+yとxyが分かってるときに
xとyを求めるという「連立方程式」をとくには
解と係数の関係を逆手にとって二次方程式を解くという
定石があるから,それを利用してるだけ.
x,yが実数なんだからそれが解となる二次方程式
(t-x)(t-y)=0の判別式を考えるということ.

三角関数使ったって構いません.

Qx+y+zの取り得る値の範囲

実数x,y,zで、x>=y>=z,x+3y+z^2=8を満たすとき、x+y+zの値の範囲を求めよ。

次のように考えましたが、途中で混乱してしまいました。
よろしく、アドバイスをお願いします。

x+y+z=kとおく。
x=k-y-zをx+3y+z^2=8に代入して
z^2-z+3y+k-8=0
これが、実数解を持つから、D>=0より、
(33-4k)/8>=y......(1)
また、z^2=8-x-3y>=0から
8>=x+3y>=4y,よって2>=y

このあと続きませんでした。

Aベストアンサー

#1から#3までは、全くの誤答、x,y,zが x+3y+z^2=8 で制限されている事を考慮してない。

simpleな解答が浮かばないが。。。。w

xを消すと、4y≦8-z^2、y≧z だから、これを満たすyの実数値があるから、8-z^2≧4z、従って、z^2+4z-8≦0 ‥‥(1) 又、そのとき、z≦y≦(8-z^2)/4 ‥‥(2)
P=x+y+z=-2y+8-z^2+z これは、傾きが負のyの一次関数だから、 (-z^2+2z+8)/2≦P≦-z^2-z+8。後は、(1)の範囲で、(-z^2+2z+8)/2の最小値と、-z^2-z+8 の最大値を求める。
結果は、比較的綺麗な数字になる。

Q数学の質問です。 a,bがすべての実数を動くとき、(a+b,a^2+b^2)の存在範囲をxy平面上に

数学の質問です。
a,bがすべての実数を動くとき、(a+b,a^2+b^2)の存在範囲をxy平面上に図示せよ。
という問題なのですが、解けません。
とりあえず自分では、a+bとa^2+b^2を他の文字に置きかえるのと、解と係数の関係を使うのかな、くらいの発想はありますが、解答に繋がりません。
解答と解説をお願いします。

Aベストアンサー

x=a+b     ・・・・・ ①
y=a^2+b^2  ・・・・・ ②
とおくと

①の両辺を2乗して
x^2=(a+b)^2
x^2=a^2+2ab+b^2

②を代入して
x^2=y+2ab
2ab=x^2-y
ab=(x^2-y)/2  ・・・・・ ③

①、③より a,bは2次方程式
t^2-xt+(x^2-y)/2=0
の実数解であるから
判別式をDとすると
D≧0

よって
D=x^2-4・1・(x^2-y)/2≧0
x^2-2x^2+2y≧0
2y≧x^2
y≧(1/2)x^2

したがって、a,bがすべての実数を動くとき、(a+b,a^2+b^2)の存在範囲は
放物線 y=(1/2)x^2 の上側 ( ただし境界を含む )

では?


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