中3の数学の問題です。

2次関数の分野です。
解説をお願いします。


(1)△PABの面積を求めなさい
(2)原点を通り、四角形AOPBの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

No.2 ベストアンサー 回答者： Har-mo-nize 回答日時： 2011/11/23 21:21

解説します。

この問題は2次関数と1次関数を組み合わせた標準的な問題で、このような問題は公立高校入試では頻繁に出題されます。
問われている主な事柄は、放物線と直線の交点を求めることができるか（2次方程式が解けるか）、グラフ上の三角形の面積を求めることができるか、ということです。

(1)
(a) 交点A,Bの座標を求める。
　　放物線の式y=x^2と直線の式y=x+6を連立して（yを消去して）xの2次方程式を作ります。
　　この2次方程式は因数分解の方法で解くことができます。
　　求められたxの値のうち、小さい方が点Aのx座標、大きい方が点Bのx座標になります。
　　これらのx座標を直線の式y=x+6に代入するなどして2点のy座標を求めます。
(b) △PABの面積を求める。
　　三角形の面積は大抵(1/2)×(縦)×(横)で求めますが、グラフ上の三角形の面積を求めるにはほとんどの場合、縦と横がx軸やy軸と平行ではなくこの公式が使いづらくなっています。
　　そこで次のように考えます。
　　点Pからy軸に平行で上方向に直線を引き、直線ABとの交点を点Dとします。この点Dの座標は直線の式y=x+6からすぐに分かります。そこから線分PDの長さを求められます。このPDと垂直（x軸と平行）な方向の2点A,Bの距離は2点のx座標の差から得られます。従って△PABの面積を次のように求めることができます。
　　　　△PAB=(1/2)×(線分PDの長さ)×{(点Bのx座標)-(点Aのx座標)}
　　なお、三平方の定理や直角二等編三角形の辺比を使ってよい場合、2直線ABとAPが直角に交わる（∠PAB=90°）であることから線分ABと線分APの長さを求め、そこから三角形の面積の公式 (1/2)×(縦)×(横) で求めても構いません。

(2)
(c) △OPAの面積を求める。
　　上記(b)と同じ手順で求めます。
　　そのためには点Oからy軸に平行に直線を引いて直線APと交わる点Eの座標が必要です。しかし、この点Eは直線APの切片ですから、直線APの式を求めることで簡単に得られます。
　　△OPAの面積は次式で得られます。
　　　　△PAB=(1/2)×(線分OEの長さ)×{(点Pのx座標)-(点Aのx座標)}

(d) 四角形AOPBの面積を求める。
　　△PABと△OPAの面積から求められます。

(e) 四角形AOPBの面積を二等分する直線と直線ABとの交点Gを求める。
　　(d)の手順から四角形AOPBの面積の半分が分かります。
　　試しに点Fを(0,6)として△AOFの面積を求めてみますと、四角形AOPBの面積の半分より小さいので、交点のx座標は正で、二等分する直線は右上がりの直線だということが分かります。
　　この交点Gのx座標をxとすると、△AOGの面積も(b)と同じ方法で式を立てることができます。
　　　（四角形AOPBの面積の半分）=(1/2)×(線分OFの長さ)×{x-(点Aのx座標)}
　　この式はxの1次方程式です。xを求めればこの交点が今までに求めた点と一致することが分かるでしょう。

(f) 二等分する直線の式を求める。
　　(e)から点Gの座標が分かります。
　　この直線は原点を通る直線（比例の式y=ax)で表せますので、a=(y座標)/(x座標)からaを決めれば、直線の式が得られます。

No.6 回答者： ferien 回答日時： 2011/11/24 13:29

さらに訂正です。

申し訳ありません。図の点Ａ，Ｂを逆に考えていました。
△ＰＯＢは△ＰＯＡ，△ＯＱＢは△ＯＱＡとなります。

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2011/11/23 23:29

先ほどの訂正です。

直線ＰＢとｙ軸との交点は（０，２）でした。済みません。

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2011/11/23 23:20

（１）交点Ａ，Bの座標を求めます。

（２次方程式から）
　　　点Ａ，Ｂ，Ｐからｘ軸へ垂線をおろします。
　　　図から，台形を３つ考えられるので、一番大きい台形の面積から左右２つの台形の面積を引きま　　　　す。その答えが△ＰＡＢの面積です。
　　　図を描いてみると分かります。

（２）四角形ＡＯＰＢの面積を求めますが，△ＰＡＢの面積が分かっているので，△ＰＯＢの面積を求め　　　ます。
　　　そのために，まず直線ＰＢを求め、ｙ軸との交点を求めます。（２，０）になります。
　　　長さ２を底辺として、点Ｂ側の三角形、点Ｐ側の三角形の面積を求め、
　　　その２つを加えたのが△ＰＯＢの面積です。図から分かります。

　　　四角形ＡＯＰＢの面積の半分の面積を求めておきます。二等分する直線は原点を通るので、
　　　それ以外にどのような点を通るのかを決めます。図からｙ軸より右側に取ればいいと分かります。
　　　直線ＡＢとの交点ですが，そのｘ座標を仮にｘとおきます。
　　　
　　　直線ＡＢｙ＝ｘ＋６とｙ軸との交点をＱとします。△ＯＱＢの面積を求めます。
　　　底辺の長さを６と考えて求め、四角形ＡＯＰＢの半分の面積から△ＯＱＢの面積を引きます。
　　　さらにｙ軸より右側に底辺の長さ６とした三角形も考えられるので，その高さを仮においたｘ，面　　　積は先ほど求めた値で、底辺×ｘ×１／２＝面積で　ｘの値が分かります。
　　　ｙ座標は直線ＡＢから求められます。
　　　ｘの値，ｙの値から，原点を通る直線ｙ＝ａｘのａの値が求められ，求める式が得られます。

　　　＊　図を描いてみると分かると思います。　
　　　　　　、

No.3 回答者： wiz77wiz 回答日時： 2011/11/23 22:01

(1)は他の回答のとおりです。

(2)
四角形BOPQが平行四辺形となるように点Qをとります。
線分OPと線分ABは平行なので点Qは直線AB上にあります。
△BOPの面積=△BOQの面積になりますので、
四角形AOPBの面積=△AOQの面積となります。
△AOQの面積を二等分する直線は線分AQの中点をとおります。
グラフを正確に描けば分かりやすいと思います。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/11/23 21:21

（１）

Ａ，Ｂの座標を求めるため、ｘ＾２＝ｘ＋６　とおきます。
ｘ＾２－ｘ－６＝０
（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝３、－２
ｙ＝９，４
これがＡ，Ｂの座標です。
また、Ｐを通りｙ軸に平行な直線の式はｘ＝１ですが、これと直線ＡＢの交点は（１，７）です。この点をＱとします。△ＡＢＰを△ＰＱＢとＰＱＡに分け、ＰＱを底辺と考えるとそれぞれの三角形の面積が求められます。

（２）
ＡＢの傾きとＯＰの傾きは等しいので、ＡＯＰＢは台形になります。
ＡＢの長さは５√２ですから、上記の△ＰＡＢの面積の２倍を５√２で割ればＰからＡＢに下ろした垂線の長さが判ります。これ（Ｌとします）がＡＯＰＢの高さになります。ＯＰの長さは√２なので、ＡＯＰＢの面積も判ります。ＡＯＰＢが台形であることから、ＯからＡＢに下ろした垂線の長さはＬになります。ＡＢ上に点Ｒを取ると△ＯＡＲの面積はＡＲの長さ＊Ｌ／２です。これがＡＯＰＢの半分になるようにＡＲの長さを決めてやればいいと思います。