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単なるcos(ax) でなく、
x<X0でf(x)=0、x≧x0 でf(x)=cos(ax)という関数ののフーリエ変換です。
(ただし ax0=π/2 です)

ただのcos(ax) のフーリエ変換は、
∫[-∞、+∞] {exp(iax) + exp(-iax) } exp(-ikx) dx
=1/√2π {δ(k-a) + δ(k+a)}
なので、
この半分に exp(ik何とか) を掛けたものかとなぁ と思うのですが、わかりません。
アドバイスをお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

u(x)をヘビサイド関数とすると、f(x)=u(x-x0){exp(iax)+exp(-iax)}/2 と書けます。


これをフーリエ変換すると、
∫[-∞,∞] u(x-x0){exp(iax)+exp(-iax)}/2 exp(-kx)dx
=(1/2)∫[-∞,∞] u(x-x0)[exp{-i(k-a)x}+exp{-i(a+k)x}]dx
=(1/2)∫[-∞,∞] u(x)[exp{-i(k-a)(x+x0)}+exp{-i(a+k)(x+x0)}]dx  平行移動
=(π/2)[{1/{iπ(k-a)}+δ(k-a)}exp{-i(k-a)x0}+{1/{iπ(k+a)}+δ(k+a)}exp{-i(k+a)x0}]  ∵u(x)のフーリエ変換はπ{1/(iπk)+δ(k)}
=(1/2)exp(-ikx0)[1/(k-a)-1/(k+a)+iπ{δ(k-a)-δ(k+a)}]  ∵exp(±iax0)=±i(複号同順)
となります。
u(x)が掛けられたために、デルタ関数に分数関数が加えられてexp(-ikx0)が乗じられた形になっています。
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この回答へのお礼

詳しく計算して頂き、感謝です。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/12/10 17:52

f(x) = H(x-x0) cos(ax) (ただしH(x)=if x>0 then 1, else 0)


従って,
Fourier(f)= Fourier(H(x-x0))*Fourier(cos(ax)) (ただし*はconvolution)
Fourier(H(x-x0))=... あとはご自分で。
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この回答へのお礼

アドバイス頂き、ありがとうございました。

お礼日時:2011/12/10 17:49

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